Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
r=2
r=4 cos theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas equações em coordenadas polares:
r = 2
e
r = 4 cos theta
Queremos achar a área da região que está fora do círculo dado por r = 2 e dentro da curva do cardioide r = 4 cos theta. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular áreas em coordenadas polares e determinar onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
2 = 4 cos theta
Dividindo ambos os lados por 4:
cos theta = 24 = 12
Isso nos dá:
theta = pi3 e theta = -pi3

Passo 3

Agora que sabemos os ângulos de interseção, vamos visualizar as curvas. A equação r = 2 representa um círculo com raio 2 centrado na origem. Já r = 4 cos theta é um cardioide que se estende para a direita a partir da origem.
Queremos a área que está fora do círculo ( r = 2) e dentro do cardioide ( r = 4 cos theta). Isso significa que vamos calcular a área dentro do cardioide entre -pi3 e pi3 e subtrair a área do círculo correspondente a esse mesmo intervalo angular.

Passo 4

Vamos usar a fórmula para calcular a área em coordenadas polares:
A = 12 integrala^b [f(theta)]^2 dtheta
Onde f(theta) é a função de r em termos de theta, e os limites de integração a e b são os ângulos entre os quais estamos calculando a área.

Passo 5

Primeiro, calculamos a área dentro do cardioide r = 4 cos theta entre -pi3 e pi3:
Acardioide = 12 integral-pi3^pi3 (4 cos theta)^2 dtheta = 12 integral-pi3^pi3 16 cos^2 theta dtheta = 8 integral-pi3^pi3 cos^2 theta dtheta

Passo 6

Agora, calculamos a área dentro do círculo r = 2 no mesmo intervalo:
Acírculo = 12 integral-pi3^pi3 (2)^2 dtheta = 12 integral-pi3^pi3 4 dtheta = 2 integral-pi3^pi3 dtheta = 2 [ theta ]-pi3^pi3 = 2 ( pi3 - (-pi3) ) = 2 cdot 2pi3 = 4pi3 í

Passo 7

Voltando à área do cardioide, precisamos resolver a integral que envolve cos^2 theta. Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Substituindo na integral:
Acardioide = 8 integral-pi3^pi3 1 + cos 2theta2 dtheta = 4 integral-pi3^pi3 (1 + cos 2theta) dtheta = 4 [ theta + sin 2theta2 ]-pi3^pi3

Passo 8

Calculando a expressão:
4 [ ( pi3 + sin 2pi32 ) - ( -pi3 + sin (-2pi3)2 ) ] = 4 [ pi3 + raiz3/22 + pi3 + raiz3/22 ] = 4 [ 2pi3 + raiz32 ] = 8pi3 + 2raiz3

Passo 9

Finalmente, a área que queremos é a diferença entre a área do cardioide e a área do círculo:
A = Acardioide - Acírculo = ( 8pi3 + 2raiz3 ) - 4pi3 = 4pi3 + 2raiz3 í

Resposta

A área da região solicitada é:
A = 4pi3 + 2raiz3 , unidades de área á

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