Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas equações em coordenadas polares:
e
Queremos achar a área da região que está fora do círculo dado por
e dentro da curva do cardioide
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular áreas em coordenadas polares e determinar onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora que sabemos os ângulos de interseção, vamos visualizar as curvas. A equação
representa um círculo com raio 2 centrado na origem. Já
é um cardioide que se estende para a direita a partir da origem.
Queremos a área que está fora do círculo (
) e dentro do cardioide (
). Isso significa que vamos calcular a área dentro do cardioide entre
e
e subtrair a área do círculo correspondente a esse mesmo intervalo angular.
Passo 4
Vamos usar a fórmula para calcular a área em coordenadas polares:
Onde
é a função de
em termos de
, e os limites de integração
e
são os ângulos entre os quais estamos calculando a área.
Passo 5
Primeiro, calculamos a área dentro do cardioide
entre
e
:
Passo 6
Agora, calculamos a área dentro do círculo
no mesmo intervalo:
Passo 7
Voltando à área do cardioide, precisamos resolver a integral que envolve
. Usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 8
Calculando a expressão:
Passo 9
Finalmente, a área que queremos é a diferença entre a área do cardioide e a área do círculo:
Resposta
A área da região solicitada é: