Escreva a forma de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^4(x^2+9)^3

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional x^4/(x^2+9)^3 em frações parciais, sem calcular os coeficientes numéricos. O conteúdo é decomposição em frações parciais com fator quadrático irreduzível repetido.

Passo 2

Como o denominador é (x^2+9)^3, que é um quadrático irreduzível elevado à terceira potência, usamos a forma padrão: para cada potência i=1,2,3 do fator x^2+9 teremos um termo da forma (Ai x + Bi)/(x^2+9)^i.
Não há parte polinomial porque o grau do numerador (4) é menor que o do denominador (6). Portanto, a decomposição parcial fica:
Preparamos os termos genéricos com coeficientes indeterminados:
Escrevemos a soma dos três termos correspondentes às potências de x^2+9.

Resposta

x^4(x^2+9)^3 = A x + Bx^2+9 + C x + D(x^2+9)^2 + E x + F(x^2+9)^3

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