Ache uma equação em x e y que tenha o mesmo gráfico da equação polar e use-a para auxiliar o traçado no plano- xy.
r=2 cos 5 theta

Passo 1

O enunciado pede pra transformar a curva polar r = 2 cos(5θ) numa equação cartesiana em x e y, usando relações entre coordenadas polares e o ângulo múltiplo cos(5θ). Vamos precisar das fórmulas de conversão r² = x²+y², x = r cosθ, y = r sinθ e da identidade de cosseno de ângulo quíntuplo.

Passo 2

Primeiro a gente usa a identidade de cosseno de múltiplo ângulo:
cos(5θ) = 16cos^5θ , - , 20cos^3θ , + , 5cosθ
Isso nos dá cos(5θ) em função de cosθ, que depois vamos trocar por x/r.

Passo 3

Agora substituímos cosθ = x/r na expressão de cos(5θ) e voltamos a equação polar:
r = 2cos(5θ) = 2l(16x^5r^5 - 20x^3r^3 + 5xrr)

Passo 4

Para eliminar os denominadores em r, multiplicamos ambos os lados por r^5:
r^6 = 2l(16x^5 - 20x^3r^2 + 5xr^4r)
E lembramos que r^2 = x^2 + y^2, então r^6 = (x2+y2)^3 e r^4 = (x2+y2)^2.

Passo 5

Finalmente, substituímos r^2 e r^4 em termos de x e y e simplificamos:
(x^2+y^2)^3 = 2l(16x^5 - 20x^3(x^2+y^2) + 5x(x^2+y^2)^2r)
Fazendo a expansão e reunindo termos obtemos
(x^2+y^2)^3 = 2xl(x^4 - 10x^2y^2 + 5y^4r)

Passo 6

Com isso, chegamos à equação cartesiana equivalente ao gráfico de r = 2 cos(5θ), que facilita o traçado no plano xy.

Resposta

(x^2 + y^2)^3 = 2xl(x^4 - 10x^2y^2 + 5y^4r)

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