Ache uma equação em
e
que tenha o mesmo gráfico da equação polar e use-a para auxiliar o traçado no plano-
.
Passo 1
O enunciado pede pra transformar a curva polar r = 2 cos(5θ) numa equação cartesiana em x e y, usando relações entre coordenadas polares e o ângulo múltiplo cos(5θ). Vamos precisar das fórmulas de conversão r² = x²+y², x = r cosθ, y = r sinθ e da identidade de cosseno de ângulo quíntuplo.
Passo 2
Primeiro a gente usa a identidade de cosseno de múltiplo ângulo:
Isso nos dá cos(5θ) em função de cosθ, que depois vamos trocar por x/r.
Passo 3
Agora substituímos cosθ = x/r na expressão de cos(5θ) e voltamos a equação polar:
Passo 4
Para eliminar os denominadores em r, multiplicamos ambos os lados por r^5:
E lembramos que r^2 = x^2 + y^2, então r^6 = (x2+y2)^3 e r^4 = (x2+y2)^2.
Passo 5
Finalmente, substituímos r^2 e r^4 em termos de x e y e simplificamos:
Fazendo a expansão e reunindo termos obtemos
Passo 6
Com isso, chegamos à equação cartesiana equivalente ao gráfico de r = 2 cos(5θ), que facilita o traçado no plano xy.