Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
r=2
.
r^2=8 sen 2 theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região que fica fora do gráfico da primeira equação e dentro do gráfico da segunda equação . Vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e integrais para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações. A primeira é simples: representa um círculo de raio 2 no sistema de coordenadas polares.
A segunda equação é . Podemos reescrevê-la como . Essa é uma equação de curva conhecida como “rosácea” ou rosette, que varia com o ângulo .

Passo 3

Para encontrar a área desejada, precisamos saber onde essas duas curvas se intersectam. Isso acontece quando 2 = raiz8 sin 2theta e 4 = 8 sin 2theta são iguais.
Então, igualando as duas equações:
sin 2theta = 12
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo por 8:

Passo 4

Resolvendo a equação 2theta = pi6 ou 2theta = 5pi6 , temos:
theta = pi12 ou theta = 5pi12
Dividindo por 2:
Esses são os pontos de interseção das duas curvas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área entre essas duas curvas no intervalo de A = 12 integralalpha^beta ( rexterior^2 - rinterior^2 ) dtheta a .
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui, e .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
A = 12 integralpi12^5pi12 ( 8 sin 2theta - 4 ) dtheta
Integrando:
A = 12 [ -4 cos 2theta - 4theta ]pi12^5pi12

Passo 7

Calculando nos limites:
Para -4 cos ( 10pi12 ) - 4 ( 5pi12 ) = -4 cos ( 5pi6 ) - 5pi3 :
-4 ( -raiz32 ) - 5pi3 = 2raiz3 - 5pi3
Como -4 cos ( 2pi12 ) - 4 ( pi12 ) = -4 cos ( pi6 ) - pi3 :
-4 ( raiz32 ) - pi3 = -2raiz3 - pi3
Para :
Como :

Passo 8

Subtraindo os valores:
( 2raiz3 - 5pi3 ) - ( -2raiz3 - pi3 ) = 4raiz3 - 4pi3
Multiplicando por A = 12 ( 4raiz3 - 4pi3 ) = 2raiz3 - 2pi3 :

Resposta

A área da região é unidades quadradas, aproximadamente 1,37 unidades².

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