Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região que fica fora do gráfico da primeira equação
e dentro do gráfico da segunda equação
. Vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e integrais para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações. A primeira é simples:
representa um círculo de raio 2 no sistema de coordenadas polares.
A segunda equação é
. Podemos reescrevê-la como
. Essa é uma equação de curva conhecida como “rosácea” ou rosette, que varia com o ângulo
.
Passo 3
Para encontrar a área desejada, precisamos saber onde essas duas curvas se intersectam. Isso acontece quando
e
são iguais.
Então, igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo por 8:
Passo 4
Resolvendo a equação
, temos:
Dividindo por 2:
Esses são os pontos de interseção das duas curvas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área entre essas duas curvas no intervalo de
a
.
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui,
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Integrando:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Como
:
Para
:
Como
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas, aproximadamente 1,37 unidades².