Escreva a forma de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^3-x^2(x-6)(5 x+3)^3

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de x^3-x^2(x-6)(5x+3)^3, sem calcular os coeficientes numéricos. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais, e vamos precisar da fatoração do denominador e das regras para fatores repetidos.

Passo 2

Primeiro, identificamos os fatores do denominador. Temos um fator linear simples (x-6) e um fator linear (5x+3) de multiplicidade 3, ou seja, elevado ao cubo.

Passo 3

A teoria de frações parciais diz que:
  • Para cada fator linear simples (x-a) temos um termo A/(x-a).
  • Para um fator repetido (bx+c)^n precisamos de n termos: B1/(bx+c)+B2/(bx+c)^2+cdots+Bn/(bx+c)^n.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, a forma geral da decomposição é:
x^3-x^2(x-6)(5x+3)^3 =Ax-6 +B5x+3 +C(5x+3)^2 +D(5x+3)^3

Resposta

x^3-x^2(x-6)(5x+3)^3 =Ax-6 +B5x+3 +C(5x+3)^2 +D(5x+3)^3

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