Use uma integral dupla para achar a área da região da forma indicada.
Um laço de
Um laço de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar uma integral dupla para calcular a área de uma região definida pela curva polar
. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares e cálculo de áreas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla em coordenadas polares e identificar os limites de integração para a curva dada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Essa é uma função trigonométrica em coordenadas polares que gera um gráfico conhecido como rosa de 4 pétalas. Cada pétala corresponde a um valor de
que satisfaz a equação da curva.
Passo 3
Para encontrar a área de uma única pétala, podemos usar a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui,
e precisamos determinar os limites de integração
e
que correspondem ao início e fim de uma pétala.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
onde a pétala começa e termina. Uma pétala completa ocorre quando
varia de 0 a seu valor máximo e volta a 0. Então, resolvemos
:
Isso nos indica que uma pétala ocorre quando
varia de
a
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral para a área de uma pétala:
Simplificamos o
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Calculamos a diferença:
Resposta
A área de uma pétala da curva
é
unidades de área.