Use uma integral dupla para achar a área da região da forma indicada.
Um laço de r=2 cos 4 theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar uma integral dupla para calcular a área de uma região definida pela curva polar . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares e cálculo de áreas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla em coordenadas polares e identificar os limites de integração para a curva dada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Essa é uma função trigonométrica em coordenadas polares que gera um gráfico conhecido como rosa de 4 pétalas. Cada pétala corresponde a um valor de que satisfaz a equação da curva.

Passo 3

Para encontrar a área de uma única pétala, podemos usar a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, e precisamos determinar os limites de integração e que correspondem ao início e fim de uma pétala.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de 2 cos 4theta = 0 implies cos 4theta = 0 implies 4theta = pi2 implies theta = pi8 onde a pétala começa e termina. Uma pétala completa ocorre quando varia de 0 a seu valor máximo e volta a 0. Então, resolvemos :
Isso nos indica que uma pétala ocorre quando varia de a .

Passo 5

Agora, configuramos a integral para a área de uma pétala:
A = 12 integral-pi8^pi8 (2 cos 4theta)^2 , dtheta
Simplificamos o (2 cos 4theta)^2 = 4 cos^2 4theta :
A = 12 integral-pi8^pi8 4 cos^2 4theta , dtheta = 2 integral-pi8^pi8 cos^2 4theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Para integrar cos^2 x = 1 + cos 2x2 , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 4theta = 1 + cos 8theta2
Aplicando isso:
A = 2 integral-pi8^pi8 1 + cos 8theta2 , dtheta = integral-pi8^pi8 (1 + cos 8theta) , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral (1 + cos 8theta) , dtheta = integral 1 , dtheta + integral cos 8theta , dtheta = theta + sin 8theta8 + C
Aplicando os limites de integração:
A = [ theta + sin 8theta8 ]-pi8^pi8

Passo 8

Calculamos a diferença:
A = ( pi8 + sin pi8 ) - ( -pi8 + sin (-pi)8 ) = pi8 - ( -pi8 ) = pi4

Resposta

A área de uma pétala da curva é unidades de área.

Exercícios relacionados