Calcule os seguintes limites:
lim x 0 e^a x-e^b xsen(a x)-sen(b x), a, b neq 0.

Passo 1

O enunciado pede o valor de limxto0e^ax-e^bxsin(ax)-sin(bx) com a,bneq0. O assunto é cálculo de limites envolvendo indeterminação do tipo 0/0, e vamos usar regra de L’Hôpital (ou equivalências de Taylor) para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos que ao substituir x=0 temos e^acdot0-e^bcdot0=1-1=0 e sin(acdot0)-sin(bcdot0)=0-0=0. Portanto o limite é uma indeterminação 0/0, o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
num'(x)=ddxl(e^ax-e^bxr)=a,e^ax-b,e^bx,
den'(x)=ddxl(sin(ax)-sin(bx)r)=acos(ax)-bcos(bx)

Passo 4

Agora avaliamos o quociente das derivadas no ponto x=0:
limxto0a,e^ax-b,e^bxacos(ax)-bcos(bx)=a,e^0-b,e^0acos0 - bcos0=a-ba-b=1

Passo 5

Portanto, o limite original vale 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados