Ache a área da região interior aos três círculos r=1, r=2 cos (theta) e r=2 sen(theta).

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares definida por
r<=1, r<=2costheta, r<=2sintheta
Isso equivale à interseção dos três discos de raio 1 com centros em (0,0), (1,0) e (0,1). Vamos usar integração em polares, determinando primeiro os ângulos em que as curvas se cruzam.

Passo 2

Calculamos os ângulos em que cada par de fronteiras se iguala a r=1:
2sintheta=1impliestheta=pi6, 2costheta=1impliestheta=pi3

Passo 3

Em cada intervalo de theta entre 0 e tfracpi2 o raio máximo é
rmax(theta)=minl(1,,2costheta,,2sinthetar)
Para 0<=theta<=pi6 tem-se 2sintheta<=1, logo rmax=2sintheta.
Para pi6<=theta<=pi3 tem-se 2sintheta>=1 e 2costheta>=1, logo rmax=1.
Para pi3<=theta<=pi2 tem-se 2costheta<=1, logo rmax=2costheta.

Passo 4

A área vale
A =12integral0^pi/6(2sintheta)^2dtheta +12integralpi/6^pi/31^2dtheta +12integralpi/3^pi/2(2costheta)^2dtheta

Passo 5

Calculando cada parcela:
12integral0^pi/64sin^2theta,dtheta =2integral0^pi/61-cos2theta2,dtheta =integral0^pi/6(1-cos2theta),dtheta =pi6-raiz34,
12integralpi/6^pi/31,dtheta =12l(pi3-pi6r) =pi12,
12integralpi/3^pi/24cos^2theta,dtheta =2integralpi/3^pi/21+cos2theta2,dtheta =integralpi/3^pi/2(1+cos2theta),dtheta =pi6-raiz34

Passo 6

Somando as três parcelas:
A =l(pi6-raiz34r) +pi12 +l(pi6-raiz34r) =5pi12-raiz32

Resposta

boxedA=5pi12-raiz32

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