As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação autônoma
com e .
Queremos encontrar os pontos de equilíbrio (onde ), classificá-los em estáveis ou instáveis usando a derivada de , e em seguida descrever (esboçar) qualitativamente o comportamento das soluções para diferentes condições iniciais .
Passo 2
Para achar os equilíbrios, solucionamos
Logo os pontos de equilíbrio são
Passo 3
Calculamos a derivada de :
Em temos
logo é ponto de equilíbrio instável (fonte).
Em temos
logo é estável (sumidouro).
Passo 4
Para esboçar o comportamento, analisamos o sinal de em cada intervalo:
Para : e . As soluções crescem e tendem a em tempo finito (explodem).
Para : mas (pois ) . As soluções decrescem e se aproximam de quando .
Para : e . As soluções crescem (isto é, tornam-se menos negativas) e se aproximam de quando .
Esboço qualitativo das soluções versus :
— Linha de fases em :
— Três perfis de y(t): 1) Para y0>0, y(t) cresce rápido e tende a +infty (explosão). 2) Para -tfracab<y0<0, y(t) decresce lentamente e se aproxima assintoticamente de -tfracab. 3) Para y0<-tfracab, y(t) aumenta (fica menos negativa) e se aproxima de -tfracab.