As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
d yd t=a y+b y^2, a>0, b>0, infty<y0<infty

Passo 1

O enunciado dá a equação autônoma
dydt = a,y + b,y^2,
com a>0 e b>0.
Queremos encontrar os pontos de equilíbrio (onde dy/dt=0), classificá-los em estáveis ou instáveis usando a derivada de f(y)=a,y+b,y^2, e em seguida descrever (esboçar) qualitativamente o comportamento das soluções para diferentes condições iniciais y(0)=y0.

Passo 2

Para achar os equilíbrios, solucionamos
a,y + b,y^2 = 0 Longrightarrow y,(a + b,y)=0
Logo os pontos de equilíbrio são
y1 = 0, y2 = -ab

Passo 3

Calculamos a derivada de f(y)=a,y+b,y^2:
f'(y) = ddy(a,y + b,y^2) = a + 2,b,y
Em y1=0 temos
f'(0)=a>0,
logo y1=0 é ponto de equilíbrio instável (fonte).
Em y2=-ab temos
f'l(-tfracabr) = a + 2,b,l(-tfracabr) = a - 2,a = -a <0,
logo y2=-tfracab é estável (sumidouro).

Passo 4

Para esboçar o comportamento, analisamos o sinal de f(y)=a,y+b,y^2=y,(a+b,y) em cada intervalo:
Para y>0: y>0 e a+b,y>0 Rightarrow f(y)>0. As soluções crescem e tendem a +infty em tempo finito (explodem).
Para -tfracab<y<0: y<0 mas a+b,y>0 (pois b,y> -a) Rightarrow f(y)<0. As soluções decrescem e se aproximam de -tfracab quando tto+infty.
Para y<-tfracab: y<0 e a+b,y<0 Rightarrow f(y)>0. As soluções crescem (isto é, tornam-se menos negativas) e se aproximam de -tfracab quando tto+infty.
Esboço qualitativo das soluções y(t) versus t:
— Linha de fases em y:
underbrace;long<=ftarrow;bul<=t-ab;longrightarrow;seta aponta para -tfracab underbrace;longrightarrow;bul<=t0;longrightarrow;fonte em 0
— Três perfis de y(t):
1) Para y0>0, y(t) cresce rápido e tende a +infty (explosão).
2) Para -tfracab<y0<0, y(t) decresce lentamente e se aproxima assintoticamente de -tfracab.
3) Para y0<-tfracab, y(t) aumenta (fica menos negativa) e se aproxima de -tfracab.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
y=0(instável), y=-ab(estável) áá

Exercícios relacionados