Determine a área da região indicada.
Interior a
e exterior a
;
Interior a
Passo 1
O enunciado pede a área da região que, em coordenadas polares, é interior ao cardioide
e ao mesmo tempo exterior ao círculo
. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e determinar primeiro o intervalo de
onde o cardioide fica fora do círculo.
Passo 2
Para achar os ângulos de intersecção, igualamos as duas curvas:
O cardioide fica com
quando
, ou seja
Passo 3
Montamos a integral de área pela diferença das curvas em cada
:
Passo 4
Expandimos o quadrado do cardioide:
Logo o integrando fica
Passo 5
Calculamos cada termo do integral simetricamente em
:
Passo 6
Somando os resultados do integrando temos
Multiplicando por
da fórmula polar,