Determine a área da região indicada.
Interior a r=2(1+cos (theta)) e exterior a r=1;

Passo 1

O enunciado pede a área da região que, em coordenadas polares, é interior ao cardioide r = 2(1+costheta) e ao mesmo tempo exterior ao círculo r=1. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e determinar primeiro o intervalo de theta onde o cardioide fica fora do círculo.

Passo 2

Para achar os ângulos de intersecção, igualamos as duas curvas:
2l(1+costhetar)=1
1+costheta=tfrac12 Longrightarrow costheta=-tfrac12 Longrightarrow theta=pmtfrac2pi3
O cardioide fica com r>=1 quando costheta>=-1/2, ou seja
thetainl[-tfrac2pi3,,tfrac2pi3r]

Passo 3

Montamos a integral de área pela diferença das curvas em cada theta:
Área = 12 integral-tfrac2pi3^tfrac2pi3 l(l[2(1+costheta)r]^2 - 1^2r),dtheta Á

Passo 4

Expandimos o quadrado do cardioide:
l[2(1+costheta)r]^2 =4l(1+2costheta+cos^2thetar) =4l(1+2costheta+tfrac1+cos2theta2r) =6+8costheta+2cos2theta
Logo o integrando fica
(6+8costheta+2cos2theta)-1 =5+8costheta+2cos2theta

Passo 5

Calculamos cada termo do integral simetricamente em theta:
integral-tfrac2pi3^tfrac2pi35,dtheta =5cdot 4pi3 =20pi3,
integral-tfrac2pi3^tfrac2pi38costheta,dtheta =8l[,sinthetar]-tfrac2pi3^tfrac2pi3 =8l(2sintfrac2pi3r) =8cdot2cdotraiz32 =8raiz3,
integral-tfrac2pi3^tfrac2pi32cos2theta,dtheta =2l[tfracsin2theta2r]-tfrac2pi3^tfrac2pi3 =sinl(tfrac4pi3r)-sinl(-tfrac4pi3r) =-raiz32-raiz32 =-raiz3

Passo 6

Somando os resultados do integrando temos
20pi3 ;+;8raiz3;-;raiz3 =20pi3+7raiz3
Multiplicando por tfrac12 da fórmula polar,
Área =12l(20pi3+7raiz3r) =10pi3+7raiz32 Á

Resposta

boxed10pi3+7raiz32

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