Ache a área da região limitada pela curva y=x cosec^2 x, pelo eixo x e pelas retas x=16 pi e x=14 pi.

Passo 1

A questão pede a área da região limitada pela curva y = xcsc^2 x, pelo eixo x e pelas retas x=tfracpi6 e x=tfracpi4. O conteúdo principal é cálculo de integrais definidas e uso de integração por partes para resolver integral xcsc^2 x,dx.

Passo 2

Para calcular a área, lembramos que ela vem da integral definida da função acima do eixo x. Assim,
A = integralpi/6^pi/4 xcsc^2 x,dx

Passo 3

Para integrar integral xcsc^2 x,dx, usamos integração por partes. Seja u = x e dv = csc^2 x,dx. Então
du = dx, v = integral csc^2 x,dx = -cot x

Passo 4

Pela fórmula de partes integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos a antiderivada
integral xcsc^2 x,dx = -xcot x + integral cot x,dx

Passo 5

Sabemos também que
integral cot x,dx = ln|sin x|,
logo a primitiva geral é
F(x) = -xcot x + ln(sin x)

Passo 6

Agora avaliamos de x=tfracpi6 a x=tfracpi4. Primeiro em x=tfracpi4:
Fl(tfracpi4r) = -tfracpi4cottfracpi4 + lnl(sintfracpi4r) = -tfracpi4cdot1 + lntfracraiz22 = -tfracpi4 - tfrac12ln2

Passo 7

Em x=tfracpi6:
Fl(tfracpi6r) = -tfracpi6cottfracpi6 + lnl(sintfracpi6r) = -tfracpi6raiz3 + lntfrac12 = -tfracpiraiz36 - ln2

Passo 8

Subtraindo,
A = Fl(tfracpi4r) - Fl(tfracpi6r) = l(-tfracpi4 - tfrac12ln2r) - l(-tfracpiraiz36 - ln2r) = tfracpiraiz36 - tfracpi4 + tfrac12ln2

Resposta

A = piraiz36 - pi4 + tfrac12ln2 (unidades de área)

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