Sem calcular derivadas direcionais, encontre a maior taxa de variação da função 2) no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a maior taxa de variação da função $ f(x, y, z) = (y - 2) x^{3} - (x - 4) y - z^{2} \sin(x y) $ no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente trabalhando com derivadas parciais e o gradiente da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, formar o vetor gradiente e então encontrar a magnitude desse gradiente, que nos dá a maior taxa de variação da função no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Começando com a derivada em relação a $ x $:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto .