Sem calcular derivadas direcionais, encontre a maior taxa de variação da função f(x, y, z)=(y- 2) x^3-(x-4) y-z^2 sin (x y) no ponto (-2,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a maior taxa de variação da função $ f(x, y, z) = (y - 2) x^{3} - (x - 4) y - z^{2} \sin(x y) $ no ponto f(x, y, z) = (y - 2) x^3 - (x - 4) y - z^2 sin(x y) . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente trabalhando com derivadas parciais e o gradiente da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, formar o vetor gradiente e então encontrar a magnitude desse gradiente, que nos dá a maior taxa de variação da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Começando com a derivada em relação a $ x $:
f
Derivando termo a termo:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Derivando termo a termo:
y

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
f
Derivando termo a termo:
z

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto (-2, 2, 0).
Primeiro, para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial x g|(-2,2,0) = 3(2 - 2) (-2)^2 - 2 - 0^2 cdot 2 cos((-2)(2)) = 3(0)(4) - 2 - 0 = -2
E para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
partial fpartial y

Passo 6

Com os valores das derivadas parciais no ponto dado, podemos formar o vetor gradiente $ \nabla f $ nesse ponto:
nabla f

Passo 7

A maior taxa de variação da função no ponto (-2, 2, 0) é igual à magnitude do vetor gradiente nesse ponto. Vamos calcular a magnitude:
| nabla f | = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2

Resposta

A maior taxa de variação da função no ponto (-2, 2, 0) é $ 2\sqrt{2} $.

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