Certa função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 2 na direção de
, enquanto na direção de
essa derivada vale
. Faça os itens abaixo, todos em relação ao ponto
e à função
:
- Em qual direção e sentido a função tem crescimento máximo?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma função diferenciável $ z = f(x, y) $ no ponto $ P = (-1, -2) $. Sabemos as derivadas direcionais dessa função em duas direções específicas:
- Na direção de $ \vec{s} = \vec{i} $ (direção do eixo x), a derivada direcional é 2.
- Na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $ (uma direção diagonal entre os eixos x e y), a derivada direcional é $ -\sqrt{2} $.
O que precisamos encontrar é a direção e o sentido em que a função $ f $ cresce mais rapidamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas direcionais e gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função $ f $ em uma direção $ \vec{u} $ é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ ($ \nabla f $) com o vetor unitário $ \vec{u} $:
O gradiente $ \nabla f $ aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa máxima de crescimento.
Passo 3
Vamos representar o gradiente como $ \nabla f = \langle a, b \rangle $, onde $ a $ e $ b $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ respectivamente.
Sabemos que:
- Na direção de $ \vec{s} = \vec{i} = \langle 1, 0 \rangle $, a derivada direcional é 2:
Portanto, $ a = 2 $.
- Na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} = \langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle $, a derivada direcional é $ -\sqrt{2} $:
Substituindo $ a = 2 $:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} $:
Então, $ b = -4 $.
Passo 4
Agora que temos o gradiente $ \nabla f = \langle 2, -4 \rangle $, podemos determinar a direção de maior crescimento.
A direção do gradiente é a direção do vetor $ \nabla f $. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, normalizamos o gradiente:
Resposta
A função $ f $ tem crescimento máximo na direção do vetor unitário $ \left\langle \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}} \right\rangle $ e no sentido apontado por esse vetor.