Certa função diferenciável z=f(x, y) tem, no ponto P=(-1,-2), derivada direcional igual a 2 na direção de s=i, enquanto na direção de v=i+jraiz2 essa derivada vale -raiz2. Faça os itens abaixo, todos em relação ao ponto P e à função f :
  1. Em qual direção e sentido a função tem crescimento máximo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma função diferenciável $ z = f(x, y) $ no ponto $ P = (-1, -2) $. Sabemos as derivadas direcionais dessa função em duas direções específicas:
  1. Na direção de $ \vec{s} = \vec{i} $ (direção do eixo x), a derivada direcional é 2.
  2. Na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $ (uma direção diagonal entre os eixos x e y), a derivada direcional é $ -\sqrt{2} $.
O que precisamos encontrar é a direção e o sentido em que a função $ f $ cresce mais rapidamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas direcionais e gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função $ f $ em uma direção $ \vec{u} $ é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ ($ \nabla f $) com o vetor unitário $ \vec{u} $:
f
O gradiente $ \nabla f $ aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa máxima de crescimento.

Passo 3

Vamos representar o gradiente como $ \nabla f = \langle a, b \rangle $, onde $ a $ e $ b $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ respectivamente.
Sabemos que:
  1. Na direção de $ \vec{s} = \vec{i} = \langle 1, 0 \rangle $, a derivada direcional é 2:
nabla f = lang<= a, b rang<=
Portanto, $ a = 2 $.
  1. Na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} = \langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle $, a derivada direcional é $ -\sqrt{2} $:
a
Substituindo $ a = 2 $:
b
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} $:
f
Então, $ b = -4 $.

Passo 4

Agora que temos o gradiente $ \nabla f = \langle 2, -4 \rangle $, podemos determinar a direção de maior crescimento.
A direção do gradiente é a direção do vetor $ \nabla f $. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, normalizamos o gradiente:

Resposta

A função $ f $ tem crescimento máximo na direção do vetor unitário $ \left\langle \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}} \right\rangle $ e no sentido apontado por esse vetor.

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