Ache a área da região limitada ela curva y=\frac{x-1}{x^{2}-5 x+6}, pelo eixo x e pelas retas x=4 e x=6

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
y = \frac{x-1}{x^{2}-5x+6},
pelo eixo x e pelas retas x=4 e x=6.
O conteúdo envolvido é integral definida, e vamos usar decomposição em frações parciais para obter a antiderivada.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3),
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\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando em comum denominador:
x-1 = A(x-3)+B(x-2).
Comparando coeficientes resulta em
A+B=1, \quad -3A-2B=-1
que dá A=-1 e B=2. Portanto
\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} =-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-3}.

Passo 3

A antiderivada de y é
\int y\,dx =\int\Bigl(-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-3}\Bigr)dx =-\ln\lvert x-2\rvert+2\ln\lvert x-3\rvert + C.

Passo 4

A área é
\int_{4}^{6}y\,dx =\bigl[-\ln\lvert x-2\rvert+2\ln\lvert x-3\rvert\bigr]_{4}^{6}.
Em x=6:
-\ln(6-2)+2\ln(6-3) =-\ln4+2\ln3 =\ln9-\ln4 =\ln\frac{9}{4}.
Em x=4:
-\ln(4-2)+2\ln(4-3) =-\ln2+2\ln1 =-\ln2.
Subtraindo os valores acima, obtemos
\ln\frac{9}{4}-(-\ln2) =\ln\!\Bigl(\frac{9}{4}\cdot2\Bigr) =\ln\frac{9}{2}.

Resposta

\ln\!\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr)

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