1. Calcule e represente graficamente o domínio da função f(x, y)=\frac{x-y}{\sqrt{x y}}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x,y)=\frac{x-y}{\sqrt{x y}}.
Para encontrar o domínio, precisamos lembrar que, para uma expressão com raiz quadrada e denominador, devemos garantir que o que está dentro da raiz seja não-negativo (para a função ser real) e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Condição de existência da raiz:
x y \ge 0,
pois só assim \sqrt{x y} está definido no conjunto dos números reais.

Passo 3

Condição de denominador não-nulo:
\sqrt{x y}\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x y \neq 0.
Ou seja, não podemos ter x y=0, pois isso zeraria o denominador.

Passo 4

Combinando as duas condições ( x y\ge 0 e x y\neq 0), obtemos
x y>0.
Isto significa que ou x>0 e y>0, ou x<0 e y<0.

Passo 5

Para representar graficamente, basta sombrear no plano (x,y) os pontos que estão
  • no primeiro quadrante ( x>0,\,y>0), e
  • no terceiro quadrante ( x<0,\,y<0),
    excluindo-se as linhas x=0 e y=0.

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y > 0\} = \bigl\{(x,y)\mid x>0,\,y>0\bigr\}\;\cup\;\bigl\{(x,y)\mid x<0,\,y<0\bigr\}.

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