1. Seja f(x, y, z)=x^{3} y^{2} z+x y^{2} z+3 x y-4 z
Calcule f_{x}(1,1,0), f_{y}(1,1,0) e f_{z}(1,1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{3}y^{2}z \;+\; x y^{2}z \;+\; 3xy \;-\;4z
e pede as derivadas parciais \,f_x, f_y e f_z avaliadas em (1,1,0). Vamos aplicar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes e usar as regras de potência e produto.

Passo 2

Derivando em relação a x:
  • de x^{3}y^{2}z vem 3x^{2}y^{2}z,
  • de x y^{2}z vem y^{2}z,
  • de 3xy vem 3y,
  • de -4z vem 0.
    Logo,
f_x(x,y,z)=3x^{2}y^{2}z + y^{2}z + 3y.
Substituindo (x,y,z)=(1,1,0):
f_x(1,1,0)=3\cdot1^{2}\cdot1^{2}\cdot0 + 1^{2}\cdot0 + 3\cdot1 = 3.

Passo 3

Derivando em relação a y:
  • de x^{3}y^{2}z vem 2x^{3}y\,z,
  • de x y^{2}z vem 2x y\,z,
  • de 3xy vem 3x,
  • de -4z vem 0.
    Portanto,
f_y(x,y,z)=2x^{3}y\,z + 2x y\,z + 3x.
Em (1,1,0):
f_y(1,1,0)=2\cdot1^{3}\cdot1\cdot0 + 2\cdot1\cdot1\cdot0 + 3\cdot1 = 3.

Passo 4

Derivando em relação a z:
  • de x^{3}y^{2}z vem x^{3}y^{2},
  • de x y^{2}z vem x y^{2},
  • de 3xy vem 0,
  • de -4z vem -4.
    Assim,
f_z(x,y,z)=x^{3}y^{2} + x y^{2} - 4.
Em (1,1,0):
f_z(1,1,0)=1^{3}\cdot1^{2} + 1\cdot1^{2} - 4 = 1 + 1 - 4 = -2.

Resposta

f_x(1,1,0)=3
f_y(1,1,0)=3
f_z(1,1,0)=-2

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