) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta em t segundos. S \mathrm{~cm} é a distância da partícula à origem, v \mathrm{~cm} / \mathrm{s} é a sua velocidade e a \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2} é a sua aceleração. Se a_{(t)}=2 t-1, v=3 \mathrm{~cm} s e S=4 \mathrm{~cm} quando t=1 \mathrm{~s}. Encontre v e S para t=5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento unidimensional onde a aceleração é dada por
a(t)=2t-1
e sabemos que em t=1 temos v(1)=3\ \mathrm{cm/s} e S(1)=4\ \mathrm{cm}. Precisamos usar as relações
a(t)=\frac{dv}{dt} \quad\text{e}\quad v(t)=\frac{dS}{dt}
para encontrar v(5) e S(5).

Passo 2

Integramos a(t) para obter v(t):
v(t)=\int (2t-1)\,dt = t^2 - t + C_1.

Passo 3

Usamos a condição v(1)=3 para determinar C_1:
3 = 1^2 - 1 + C_1 \;\Longrightarrow\; C_1 = 3.
Logo
v(t)=t^2 - t + 3
e em particular
v(5)=5^2 - 5 + 3 = 25 - 5 + 3 = 23\\ (\mathrm{cm/s}).

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter S(t):
S(t)=\int (t^2 - t + 3)\,dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 3t + C_2.

Passo 5

Usamos a condição S(1)=4 para achar C_2:
4 = \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 3\cdot1 + C_2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 3 + C_2 = \frac{17}{6} + C_2 \;\Longrightarrow\; C_2 = 4 - \frac{17}{6} = \frac{7}{6}.
Assim
S(t)=\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 3t + \frac{7}{6}
e
S(5)=\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} + 3\cdot5 + \frac{7}{6} = \frac{125}{3} - \frac{25}{2} + 15 + \frac{7}{6} = \frac{136}{3}\\ (\mathrm{cm}).

Resposta

v(5)=23\ \mathrm{cm/s} S(5)=\frac{136}{3}\ \mathrm{cm}

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