Ache a área da região limitada pela curva y=x^2-4 x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y = x^2 - 4x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração definida, usando A = integrala^b |f(x)|,dx. Vamos precisar achar onde a curva cruza o eixo x e determinar o sinal de f(x) no intervalo dado.

Passo 2

Para achar onde a curva cruza o eixo x, resolvemos x^2 - 4x = 0. Fatorando, temos
x(x - 4) = 0
logo as raízes são x=0 e x=4. Para saber se f(x) está acima ou abaixo do eixo entre x=1 e x=3, avaliamos em um ponto qualquer, por exemplo x=2:
f(2) = 2^2 - 4cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0
Então a curva está abaixo do eixo x nesse intervalo.

Passo 3

Como f(x) é negativa em [1,3], a área procurada é
A = integral1^3 |x^2 - 4x|,dx = integral1^3 -(x^2 - 4x),dx = integral1^3 (4x - x^2),dx

Passo 4

Precisamos agora calcular a integral. Uma primitiva de 4x - x^2 é
,F(x) = 2x^2 - x^33
Avaliando de 1 a 3:
A = F(3) - F(1) = l(2cdot3^2 - tfrac3^33r) - l(2cdot1^2 - tfrac1^33r) = (18 - 9) - (2 - tfrac13) = 9 - tfrac53 = tfrac223

Resposta

tfrac223

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