Mostrar que:
integral-pi^pi sen(5 x) cos (2 x) d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral-pi^pi sin(5x)cos(2x),dx=0
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a propriedade de paridade de funções (ímpar ou par) para resolver sem precisar calcular antiderivadas.

Passo 2

Para aplicar a propriedade de paridade, a gente verifica o comportamento de f(x)=sin(5x)cos(2x) quando trocamos x por -x. Usando
sin(-5x)=-sin(5x), cos(-2x)=cos(2x),
vem
f(-x)=sin(-5x)cos(-2x)=(-sin(5x))cos(2x)=-sin(5x)cos(2x)=-f(x)
Ou seja, f é uma função ímpar.

Passo 3

Como estamos integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero (de -pi até pi), vale a propriedade:
integral-a^a f(x),dx=0se f for ímparí
Logo,
integral-pi^pi sin(5x)cos(2x),dx=0

Resposta

0

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