Ache a área da região limitada pelas curvas.
x=y^2, x=12-2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x = y^2 e x = 12 - 2y^2. O conteúdo da matéria é área entre duas curvas definidas em função de y, e vamos precisar: 1) encontrar os pontos de interseção, 2) determinar qual curva fica à direita e qual fica à esquerda no plano (x,y), e 3) montar e calcular a integral integral (xdireita - xesquerda),dy.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de x:
y^2 = 12 - 2y^2
Somando 2y^2 aos dois lados e dividindo por 3,
3y^2 = 12 Longrightarrow y^2 = 4 Longrightarrow y = pm 2

Passo 3

Isso mostra que a região limitada está entre y=-2 e y=2. Em cada y desse intervalo, a curva x = 12 - 2y^2 é a fronteira direita (maior x) e x = y^2 é a fronteira esquerda (menor x). Assim a área é
Área = integraly=-2^2 l[(12 - 2y^2) - (y^2)r],dy = integral-2^2 (12 - 3y^2),dyÁ

Passo 4

Agora vamos calcular a integral. Primeiro separamos:
integral-2^2 12,dy = 12l[yr]-2^2 = 12(2 - (-2)) = 48,
integral-2^2 3y^2,dy = 3l[tfracy^33r]-2^2 = l[y^3r]-2^2 = 8 - (-8) = 16

Passo 5

Subtraindo, obtemos
Área = 48 - 16 = 32Á

Resposta

32

Exercícios relacionados