Calcule as integrais a seguir.
integral x^3+x^2+2 x+1(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

Temos que calcular integral x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2),dx. Esse é um integral de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais para transformar o integrando em termos que conhecemos como integral xx^2+a^2,dx e integral 1x^2+a^2,dx.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, assumimos que
x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2)=Ax+Bx^2+1+Cx+Dx^2+2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x^2+2), obtemos
x^3+x^2+2x+1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)

Passo 4

Agora expandimos e comparamos coeficientes de potências de x. Isso gera o sistema
A+C=1,B+D=1,2A+C=2,2B+D=1

Passo 5

Resolvendo as equações, encontramos A=1, C=0, B=0 e D=1. Assim o integrando vira
x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2)=xx^2+1+1x^2+2

Passo 6

Finalmente, integramos termo a termo lembrando que integralxx^2+1,dx=tfrac12ln(x^2+1) e integral1x^2+a^2,dx=tfrac1aarctanl(tfracxar). Aqui temos a=raiz2.

Resposta

12ln(x^2+1)+1raiz2arctanl(tfracxraiz2r)+C

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