Calcule as integrais a seguir.
integral 1(x+5)^2(x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1(x+5)^2(x-1),dx. Isso cai no tema de integração por frações parciais, e vamos precisar decompor essa fração racional em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é (x+5)^2(x-1), assumimos a forma:
1(x+5)^2(x-1) = Ax-1 + Bx+5 + C(x+5)^2

Passo 3

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por (x+5)^2(x-1) para identificar A, B e C:
1 = A,(x+5)^2 + B,(x-1)(x+5) + C,(x-1)
Expandindo e agrupando em potências de x obtemos:
1 = (A+B)x^2 + (10A+4B+C)x + (25A-5B-C)
Igualamos coeficientes de cada potência de x:
A + B = 0, 10A + 4B + C = 0, 25A - 5B - C = 1
Da primeira equação vem B=-A. Substituindo na segunda: 10A+4(-A)+C=0 C=-6A. Na terceira: 25A-5(-A)-(-6A)=1 leva a 36A=1, logo
A = 136, B = -136, C = -16

Passo 4

Agora reescrevemos a integral usando esses valores:
integral 1(x+5)^2(x-1),dx = 136integral dxx-1 - 136integral dxx+5 - 16integral dx(x+5)^2
Integrando termo a termo, lembrando que integral (x+a)^-2dx = -1/(x+a):
= 136ln|x-1| - 136ln|x+5| + 16(x+5) + C

Passo 5

Por fim, podemos combinar os logaritmos para ficar mais enxuto:
136lnl|x-1x+5r| + 16(x+5) + C

Resposta

136lnl|x-1x+5r| + 16(x+5) + C

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