Encontre as derivadas parciais de f(x, y)=x^2+4 x y+y e^x

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = x^{2} + 4xy + y e^{x} $ e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e a $ y $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que indicam como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
  • A derivada de $ 4xy $ em relação a $ x $ é $ 4y $, já que $ y $ é uma constante nesse caso.
  • A derivada de $ y e^{x} $ em relação a $ x $ é $ y e^{x} $, pois a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $ e $ y $ é constante.
Somando tudo, temos:
x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ y $.

Passo 5

Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é $ 0 $, já que não há $ y $ nesse termo.
  • A derivada de $ 4xy $ em relação a $ y $ é $ 4x $, pois $ x $ é constante.
  • A derivada de $ y e^{x} $ em relação a $ y $ é $ e^{x} $, já que $ e^{x} $ é constante em relação a $ y $.
Somando tudo, temos:
x^2

Resposta

As derivadas parciais de $ f(x, y) $ são:
f(x, y)
e
partial fpartial x = 2x + 4y + y e^x

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