Encontre as derivadas parciais de
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = x^{2} + 4xy + y e^{x} $ e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e a $ y $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que indicam como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $.
Passo 3
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
- A derivada de $ 4xy $ em relação a $ x $ é $ 4y $, já que $ y $ é uma constante nesse caso.
- A derivada de $ y e^{x} $ em relação a $ x $ é $ y e^{x} $, pois a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $ e $ y $ é constante.
Somando tudo, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ y $.
Passo 5
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é $ 0 $, já que não há $ y $ nesse termo.
- A derivada de $ 4xy $ em relação a $ y $ é $ 4x $, pois $ x $ é constante.
- A derivada de $ y e^{x} $ em relação a $ y $ é $ e^{x} $, já que $ e^{x} $ é constante em relação a $ y $.
Somando tudo, temos:
Resposta
As derivadas parciais de $ f(x, y) $ são:
e