Ache a área da região limitada pelas curvas.
4 x=4 y-y^2, 4 x-y=0

Passo 1

A gente precisa achar a área da região limitada pelas curvas 4x=4y-y^2 e 4x-y=0. Esse é um problema de área usando integração; vamos precisar escrever as duas curvas como funções de y, achar onde elas se cruzam e integrar a diferença horizontal das abscissas.

Passo 2

Primeiro transformamos a reta 4x-y=0 em x=y4 e a parábola 4x=4y-y^2 em x=y-y^24. Para achar as interseções, substituímos x=y4 na expressão da parábola, chegando em y(3-y)=0, ou seja, y=0 e y=3.

Passo 3

Para cada y entre 0 e 3, a abscissa da parábola x=y-y^24 é maior que a da reta x=y4, porque
l(y-y^24r)-y4=y(3-y)4
é positivo nesse intervalo. Então a fronteira direita é a parábola e a esquerda é a reta.

Passo 4

Montamos o integral da seguinte forma:
A=integraly=0^3[l(y-y^24r)-y4]dy =14integral0^3(3y-y^2),dy
Calculando,
14[3y^22-y^33]0^3 =14l(272-9r) =98

Resposta

98

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