A base de um sólido é o círculo
. Ache o volume do sólido dado que as seções retas perpendiculares ao eixo x são (a) quadrados; (b) triângulos equiláteros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a base de um sólido que é um círculo dado pela equação $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Queremos encontrar o volume desse sólido sabendo que as seções perpendiculares ao eixo $ x $ são (a) quadrados e (b) triângulos equiláteros. Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente integrando a área das seções transversais ao longo do eixo $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área da seção transversal para cada parte. No caso (a), cada seção é um quadrado. Para achar a área desse quadrado, precisamos saber o comprimento de seu lado em função de $ x $. Sabendo que a base é um círculo, para um dado valor de $ x $, o valor de $ y $ varia de $ -\sqrt{r^{2} - x^{2}} $ a $ \sqrt{r^{2} - x^{2}} $. Isso significa que a largura do quadrado é $ 2\sqrt{r^{2} - x^{2}} $.
Passo 3
A área do quadrado é o lado ao quadrado. Então, a área $ A(x) $ do quadrado em função de $ x $ é:
Agora, para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar essa área ao longo do eixo $ x $ de $ -r $ a $ r $:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Essa é uma função par, então podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a $ r $:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b), onde cada seção perpendicular ao eixo $ x $ é um triângulo equilátero. Primeiro, precisamos encontrar a área desse triângulo em função de $ x $. A base do triângulo é a mesma largura do círculo em $ x $, que é $ 2\sqrt{r^{2} - x^{2}} $.
Passo 6
Em um triângulo equilátero, a altura $ h $ está relacionada ao lado $ a $ por $ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a $. Aqui, o lado $ a $ do triângulo é $ 2\sqrt{r^{2} - x^{2}} $, então a altura é:
A área $ A(x) $ do triângulo equilátero é:
Passo 7
Para encontrar o volume total do sólido com seções triangulares, integramos essa área ao longo de $ x $ de $ -r $ a $ r $:
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
Integrando:
Resposta
(a) O volume do sólido com seções quadradas é $ \frac{16}{3} r^{3} $.
(b) O volume do sólido com seções triangulares equiláteras é $ \frac{4\sqrt{3}}{3} r^{3} $.