Defina se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a monotonicidade (crescente, decrescente ou não monótona) da sequência
e verificar se ela é limitada. Vamos usar teste de monotonicidade via diferença dos termos consecutivos e estudar limites para a parte de limite.
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral: o denominador é
, logo
Passo 3
Para testar monotonicidade, calculamos a diferença
:
Passo 4
Observamos que
para todo
. Assim
o que mostra que a sequência é estritamente crescente.
Passo 5
Para a limitação, notamos que ao escrever
:
- Quando
, , valor mínimo inicial. - Como
quando , , valor máximo limite.
Portantoestá sempre entre e , sendo limitada.
Passo 6
Concluímos que a sequência é estritamente crescente e limitada (inferiormente por
e superiormente pelo limite
).
Resposta
A sequência é estritamente crescente e é limitada, com
.