Defina se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(b) an=2 n-33 n+4 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade (crescente, decrescente ou não monótona) da sequência an=2n-33n+4n e verificar se ela é limitada. Vamos usar teste de monotonicidade via diferença dos termos consecutivos e estudar limites para a parte de limite.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral: o denominador é 3n+4n=7n, logo
an=2n-37n=27-37n

Passo 3

Para testar monotonicidade, calculamos a diferença an+1-an:
an+1-an=l(tfrac27-tfrac37(n+1)r)-l(tfrac27-tfrac37nr)=37l(1n-1n+1r)

Passo 4

Observamos que 1n-1n+1=1n(n+1)>0 para todo n>=1. Assim
an+1-an=37cdot1n(n+1)>0,
o que mostra que a sequência é estritamente crescente.

Passo 5

Para a limitação, notamos que ao escrever an=tfrac27-tfrac37n:
  • Quando n=1, a1=-tfrac17, valor mínimo inicial.
  • Como tfrac37nto0 quando ntoinfty, antotfrac27, valor máximo limite.
    Portanto an está sempre entre -tfrac17 e tfrac27, sendo limitada.

Passo 6

Concluímos que a sequência é estritamente crescente e limitada (inferiormente por a1=-tfrac17 e superiormente pelo limite 2/7).

Resposta

A sequência é estritamente crescente e é limitada, com anin[-1/7,,2/7).

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