Esboce as curvas de nível k=0,1,2 e 3 da função f(x, y)=x^2+2. Em seguida, esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível para k=0,1,2 e 3 da função f(x,y)=x²+2 e, em seguida, desenhar o gráfico da superfície z=f(x,y). O conteúdo é curva de nível e esboço de superfície; vamos precisar usar a definição f(x,y)=k e entender como x e y se relacionam.

Passo 2

A curva de nível de valor k satisfaz a equação
x^2 + 2 = k
que podemos rearranjar para
x^2 = k - 2
Essa expressão diz que, para cada nível k, x deve ser tal que x² seja igual a k-2, enquanto y é livre.

Passo 3

Agora analisamos caso a caso:
• Para k=0: x² = 0 - 2 = -2 → não há solução real → não há curva de nível.
• Para k=1: x² = 1 - 2 = -1 → não há solução real → não há curva de nível.
• Para k=2: x² = 2 - 2 = 0 → x = 0 → curva de nível é a reta vertical x=0 (qualquer y).
• Para k=3: x² = 3 - 2 = 1 → x = ±1 → curvas de nível são as retas verticais x=1 e x=-1 (qualquer y).

Passo 4

No plano xy, portanto, desenhamos: nenhuma curva para k=0,1; a reta x=0 para k=2; e as retas x=±1 para k=3.

Passo 5

O gráfico da superfície z = x² + 2 é um cilindro parabólico. Para cada valor fixo de y, a seção no plano xz é a parábola z = x² + 2; como não há dependência de y, a parábola se estende paralelamente ao eixo y.

Resposta

As curvas de nível são:
  • k=0 e k=1: não existem (sem solução real);
  • k=2: reta vertical x=0;
  • k=3: retas verticais x=±1.
O gráfico de f(x,y)=x²+2 é um cilindro parabólico de equação z = x² + 2 (uma parábola em x para cada y, estendida ao longo do eixo y).

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