Ache a área da região limitada pelas curvas y=x^3-6 x^2+8 x e y=x^2-4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com a Área entre duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as curvas se encontram e depois calcular a integral da diferença das funções nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando x^3 - 6x^2 + 8x = x^2 - 4x . Para achar esses valores de x^3 - 6x^2 + 8x - x^2 + 4x = 0 , vamos resolver a equação:
x^3 - 7x^2 + 12x = 0
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de x(x^2 - 7x + 12) = 0 . Podemos fatorar x = 0 em comum:
x^2 - 7x + 12 = 0
Isso nos dá uma solução imediata:
x = 7 pm raiz49 - 482 = 7 pm 12
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
x = 7 + 12 = 4 e x = 7 - 12 = 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção estão em , e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, precisamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo. Vamos escolher um valor de y1 = 1 - 6 + 8 = 3 em cada intervalo e comparar os valores das duas funções.
  1. Para y2 = 1 - 4 = -3 entre 0 e 3, podemos escolher y1 = (3.5)^3 - 6(3.5)^2 + 8(3.5) approx 42.875 - 73.5 + 28 = -2.625 :
    y2 = (3.5)^2 - 4(3.5) = 12.25 - 14 = -1.75
    Então, .
  2. Para entre 3 e 4, escolhemos :
    Aqui, também, mas como ambos são negativos, a diferença será a mesma para calcular a área.

Passo 5

Com as funções identificadas, podemos agora configurar a integral para encontrar a área entre elas. A área A = integrala^b (ysuperior - yinferior) , dx entre as curvas de A = integral0^4 ( (x^3 - 6x^2 + 8x) - (x^2 - 4x) ) dx a é dada por:
No nosso caso, e , e os limites são de a .
Então, a área total será:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(x^3 - 6x^2 + 8x) - (x^2 - 4x) = x^3 - 6x^2 + 8x - x^2 + 4x = x^3 - 7x^2 + 12x
Então, a integral fica:
A = integral0^4 (x^3 - 7x^2 + 12x) , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
A = integral0^4 x^3 , dx - 7 integral0^4 x^2 , dx + 12 integral0^4 x , dx
Calculando cada parte separadamente:
  1. A = [ x^44 ]0^4 - 7 [ x^33 ]0^4 + 12 [ x^22 ]0^4
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Vamos calcular cada termo:

Passo 9

Agora, somamos todos os termos:
A = 64 - 4483 + 96
Para somar, vamos converter 64 e 96 para ter o mesmo denominador:
64 = 1923 e 96 = 2883
Então:
A = 1923 - 4483 + 2883 = 192 - 448 + 2883 = 323

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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