Ache a área da região limitada pelas curvas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com a Área entre duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as curvas se encontram e depois calcular a integral da diferença das funções nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando
. Para achar esses valores de
, vamos resolver a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de
. Podemos fatorar
em comum:
Isso nos dá uma solução imediata:
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção estão em
,
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, precisamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo. Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e comparar os valores das duas funções.
-
Para
entre 0 e 3, podemos escolher : Então,. -
Para
entre 3 e 4, escolhemos : Aqui,também, mas como ambos são negativos, a diferença será a mesma para calcular a área.
Passo 5
Com as funções identificadas, podemos agora configurar a integral para encontrar a área entre elas. A área
entre as curvas de
a
é dada por:
No nosso caso,
e
, e os limites são de
a
.
Então, a área total será:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Vamos calcular cada termo:
Passo 9
Agora, somamos todos os termos:
Para somar, vamos converter 64 e 96 para ter o mesmo denominador:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.