Calcule as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve técnicas de integração por substituição, onde vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que as funções trigonométricas
e
estão ambas com o argumento
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Dividindo ambos os lados da equação por 6:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Passo 7
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, porque:
Passo 8
Portanto, a integral fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral é igual a
.