Calcule as integrais:
integral y cossec 3 y^2 cotg 3 y^2 d y

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de integração por substituição, onde vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que as funções trigonométricas u = 3y^2 e estão ambas com o argumento . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudy = 6y em relação a du = 6y , dy :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar y , dy = du6 em termos de . Dividindo ambos os lados da equação por 6:

Passo 5

Substituímos integral y cossec (3y^2) cotg (3y^2) , dy = integral cossec (u) cotg (u) cdot du6 e na integral original:

Passo 6

Fatoramos a constante 16 integral cossec (u) cotg (u) , du para fora da integral:

Passo 7

Sabemos que a integral de ddu [cossec (u)] = cossec (u) cotg (u) em relação a é , porque:

Passo 8

Portanto, a integral fica:
16 cossec (u) + C
onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, substituímos 16 cossec (3y^2) + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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