Seja A=[1,2] times[0,1]. Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo f(x, y) igual a:
(b) x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos! O enunciado pede pra gente calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis sobre uma região retangular. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Então, nossos limites de integração serão:

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla da função integral duplaA (x - y) , dx , dy = integralx=1^2 integraly=0^1 (x - y) , dy , dx sobre a região :

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 (x - y) , dy = integral0^1 x , dy - integral0^1 y , dy . Então, fixamos e integramos de a :

Passo 5

Calculando as integrais separadamente:
integral0^1 x , dy = x cdot integral0^1 dy = x cdot (1 - 0) = x
integral0^1 y , dy = y^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
integral0^1 (x - y) , dy = x - 12

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral1^2 ( x - 12 ) , dx = integral1^2 x , dx - integral1^2 12 , dx de 1 a 2:

Passo 8

Calculando as integrais separadamente:
integral1^2 x , dx = x^22 |1^2 = 2^22 - 1^22 = 42 - 12 = 32
integral1^2 12 , dx = 12 cdot (2 - 1) = 12

Passo 9

Subtraindo os resultados:
integral1^2 ( x - 12 ) , dx = 32 - 12 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é .

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