Ache a área da região limitada pelas parábolas y^2=4 p x e x^2=4 p y. Faça um esboço da região cuja área está sendo calculada.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para encontrar a área da região limitada por duas parábolas: $ y^{2} = 4 p x $ e $ x^{2} = 4 p y $. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas e cálculo de áreas entre curvas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as parábolas que temos. A equação $ y^{2} = 4 p x $ representa uma parábola que se abre para a direita, com o vértice na origem. Já a equação $ x^{2} = 4 p y $ é uma parábola que se abre para cima, também com vértice na origem.

Passo 3

Para encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos descobrir onde elas se intersectam. Isso significa resolver o sistema de equações formado pelas duas parábolas.

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
y^2 = 4 p x e x^2 = 4 p y
Da primeira equação, isolamos $ x $:
x
Substituímos esse valor na segunda equação:
x = y^24 p
Simplificando:
( y^24 p )^2 = 4 p y
Dividindo ambos os lados por $ y $ (assumindo $ y \neq 0 $):
y^416 p^2 = 4 p y implies y^4 = 64 p^3 y
Então, a interseção ocorre quando $ y = 0 $ e $ y = 4 p $. Correspondente a $ y = 4 p $, encontramos $ x = \frac{(4 p)^{2}}{4 p} = 4 p $. Portanto, os pontos de interseção são $ (0,0) $ e $ (4 p, 4 p) $.

Passo 5

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração para calcular a área entre as curvas. Vamos integrar em relação a $ y $ de $ y = 0 $ a $ y = 4 p $.

Passo 6

Expressamos $ x $ em termos de $ y $ para ambas as parábolas:
x á
y á
A área $ A $ entre as curvas é dada por:
x1 = y^24 p (da parábola y^2 = 4 p x )

Passo 7

Calculando a integral:
A = integral0^4 p ( y^24 p - raiz4 p y ) dy
Simplificando $ \sqrt{4 p y} $ para facilitar:
raiz4 p y
Então:
raiz4 p y = 2 raizp y

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral y^24 p dy = 14 p cdot y^33 = y^312 p
Então, a área fica:
integral 2 raizp y , dy = 2 cdot 23 (p y)^3/2 cdot 1p^1/2 = 43 p y^3/2

Passo 9

Calculando nos limites:
Para $ y = 4 p $:
y = 4 p
(4 p)^312 p = 64 p^312 p = 16 p^23
Para $ y = 0 $, ambos os termos são zero.

Passo 10

Subtraindo:
A = ( 16 p^23 - 32 p^5/23 ) - 0 = 16 p^23 - 32 p^5/23
Simplificando:
A = 16 p^2 - 32 p^5/23 = 16 p^2 (1 - 2 p^1/2)3
Assumindo que $ p > 0 $, essa é a área da região limitada pelas duas parábolas.

Resposta

A área da região limitada pelas parábolas $ y^{2} = 4 p x $ e $ x^{2} = 4 p y $ é $ \frac{16 p^{2} (1 - 2 p^{1/2})}{3} $.

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