Ache a área da região limitada pelas parábolas
e
. Faça um esboço da região cuja área está sendo calculada.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para encontrar a área da região limitada por duas parábolas: $ y^{2} = 4 p x $ e $ x^{2} = 4 p y $. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas e cálculo de áreas entre curvas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as parábolas que temos. A equação $ y^{2} = 4 p x $ representa uma parábola que se abre para a direita, com o vértice na origem. Já a equação $ x^{2} = 4 p y $ é uma parábola que se abre para cima, também com vértice na origem.
Passo 3
Para encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos descobrir onde elas se intersectam. Isso significa resolver o sistema de equações formado pelas duas parábolas.
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação, isolamos $ x $:
Substituímos esse valor na segunda equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por $ y $ (assumindo $ y \neq 0 $):
Então, a interseção ocorre quando $ y = 0 $ e $ y = 4 p $. Correspondente a $ y = 4 p $, encontramos $ x = \frac{(4 p)^{2}}{4 p} = 4 p $. Portanto, os pontos de interseção são $ (0,0) $ e $ (4 p, 4 p) $.
Passo 5
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração para calcular a área entre as curvas. Vamos integrar em relação a $ y $ de $ y = 0 $ a $ y = 4 p $.
Passo 6
Expressamos $ x $ em termos de $ y $ para ambas as parábolas:
A área $ A $ entre as curvas é dada por:
Passo 7
Calculando a integral:
Simplificando $ \sqrt{4 p y} $ para facilitar:
Então:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então, a área fica:
Passo 9
Calculando nos limites:
Para $ y = 4 p $:
Para $ y = 4 p $:
Para $ y = 0 $, ambos os termos são zero.
Passo 10
Subtraindo:
Simplificando:
Assumindo que $ p > 0 $, essa é a área da região limitada pelas duas parábolas.
Resposta
A área da região limitada pelas parábolas $ y^{2} = 4 p x $ e $ x^{2} = 4 p y $ é $ \frac{16 p^{2} (1 - 2 p^{1/2})}{3} $.