Calcule com detalhes a integral indefinida abaixo integral e^5 x(e^2 x+1)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
integral e^5x(e^2x + 1)^2 dx
Este exercício envolve técnicas de integração, especificamente substituição e manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = e^x
Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de $ u $, facilitando a resolução.

Passo 3

Calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 4

Substituímos na integral original:
integral e^5x(e^2x +1)^2 dx = integral u^5(u^2 +1)^2 cdot duu = integral u^4(u^2 +1)^2 du

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
integral u^4(u^2 +1)^2 du
Para isso, podemos simplificar a expressão algébrica.

Passo 6

Observe que podemos reescrever o numerador $ u^4 $ como:
u^4
Isso nos permitirá dividir a fração em termos mais simples.

Passo 7

Substituímos na integral:
integral (u^2 +1)^2 - 2u^2 -1(u^2 +1)^2 du = integral (1 - 2u^2 +1(u^2 +1)^2) du

Passo 8

Então, a integral se divide em partes:
integral (1 - 2u^2 +1(u^2 +1)^2) du = integral 1 , du - integral 2u^2 +1(u^2 +1)^2 du

Passo 9

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro:
integral 1 , du = u + C1
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração.

Passo 10

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral 2u^2 +1(u^2 +1)^2 du
Podemos dividir esta fração:
2u^2 +1(u^2 +1)^2 = 2u^2(u^2 +1)^2 + 1(u^2 +1)^2

Passo 11

Simplificamos cada termo:
Para o primeiro termo:
2u^2(u^2 +1)^2 = 2(u^2 +1) - 2(u^2 +1)^2 = 2u^2 +1 - 2(u^2 +1)^2

Passo 12

Portanto, a integral fica:
integral 2u^2 +1(u^2 +1)^2 du = 2 integral 1u^2 +1 du - 2 integral 1(u^2 +1)^2 du + integral 1(u^2 +1)^2 du
Simplificando:
= 2 integral 1u^2 +1 du - integral 1(u^2 +1)^2 du

Passo 13

Resolvendo as integrais:
Sabemos que:
integral 1u^2 +1 du = tan^-1(u) + C
E:
integral 1(u^2 +1)^2 du = u2(u^2 +1) + 12 tan^-1(u) + C

Passo 14

Substituindo de volta:
2 tan^-1(u) - ( u2(u^2 +1) + 12 tan^-1(u) ) + C
Simplificando:
= 32 tan^-1(u) - u2(u^2 +1) + C

Passo 15

Voltando à expressão original da integral:
integral u^4(u^2 +1)^2 du = u - ( 32 tan^-1(u) - u2(u^2 +1) ) + C
Simplificando:
= u - 32 tan^-1(u) + u2(u^2 +1) + C

Passo 16

Finalmente, substituímos $ u = e^{x} $ de volta:
u = e^x

Resposta

A integral é igual a:
integral e^5x(e^2x +1)^2 dx = e^x - 32 tan^-1(e^x) + e^x2(e^2x +1) + C

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