Calcule com detalhes a integral indefinida abaixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
Este exercício envolve técnicas de integração, especificamente substituição e manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de $ u $, facilitando a resolução.
Passo 3
Calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Substituímos na integral original:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral:
Para isso, podemos simplificar a expressão algébrica.
Passo 6
Observe que podemos reescrever o numerador $ u^4 $ como:
Isso nos permitirá dividir a fração em termos mais simples.
Passo 7
Substituímos na integral:
Passo 8
Então, a integral se divide em partes:
Passo 9
Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro:
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração.
Passo 10
Agora, resolvemos a segunda integral:
Podemos dividir esta fração:
Passo 11
Simplificamos cada termo:
Para o primeiro termo:
Passo 12
Portanto, a integral fica:
Simplificando:
Passo 13
Resolvendo as integrais:
Sabemos que:
E:
Passo 14
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 15
Voltando à expressão original da integral:
Simplificando:
Passo 16
Finalmente, substituímos $ u = e^{x} $ de volta:
Resposta
A integral é igual a: