Ache a área da superfície do tronco de cone de raios R e r com geratriz g, usando integral definida.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a área da superfície lateral de um tronco de cone de raios R e r e geratriz g, utilizando integral definida. O conteúdo que vamos usar é área de superfície de revolução, em que cada elemento de comprimento da geratriz gera uma circunferência de raio variável.

Passo 2

Para montar a integral, parametrizamos a geratriz por um parâmetro s que varia de 0 a g. Em s=0 o raio vale r e em s=g vale R. Logo definimos a função do raio ao longo de s:
rho(s)=r+(R-r)sg

Passo 3

O elemento de área lateral gerado pela rotação de um pequeno segmento ds é a circunferência de raio rho(s) vezes o comprimento ds. Assim:
dA = 2pi,rho(s),ds
e a área total é a integral de dA de 0 a g:
S=integral0^g2pil(r+(R-r)tfracsgr),ds

Passo 4

Agora basta calcular a integral. Separamos em duas partes:
S=2pil(integral0^gr,ds+integral0^g(R-r)tfracsg,dsr)
=2pil[r,s|0^g+(R-r)tfracs^22g|0^gr] =2pil(rg+(R-r)tfracg^22gr)

Passo 5

Simplificando a expressão final, obtemos:
S=2pil(rg+R-r2gr)=pi g,(R+r)

Resposta

S=pi,(R+r),g

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