Ache a área da superfície do tronco de cone de raios
e
com geratriz
, usando integral definida.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar a área da superfície lateral de um tronco de cone de raios
e
e geratriz
, utilizando integral definida. O conteúdo que vamos usar é área de superfície de revolução, em que cada elemento de comprimento da geratriz gera uma circunferência de raio variável.
Passo 2
Para montar a integral, parametrizamos a geratriz por um parâmetro
que varia de 0 a
. Em
o raio vale
e em
vale
. Logo definimos a função do raio ao longo de
:
Passo 3
O elemento de área lateral gerado pela rotação de um pequeno segmento
é a circunferência de raio
vezes o comprimento
. Assim:
e a área total é a integral de
de 0 a
:
Passo 4
Agora basta calcular a integral. Separamos em duas partes:
Passo 5
Simplificando a expressão final, obtemos: