Ache a área da superfície do tronco de cone de raios R e r com geratriz g, usando integral de superfície.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa achar a área da superfície de um tronco de cone, que tem dois raios diferentes, R e r, e uma geratriz g. Para isso, vamos usar cálculo de integrais de superfície. Basicamente, vamos dividir o tronco em pequenas partes e somar todas elas para encontrar a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do tronco de cone. Imagine um cone cortado horizontalmente, deixando uma parte menor no topo. Os raios das duas bases são R e r, e a geratriz g é a distância inclinada entre as duas bases.

Passo 3

A área da superfície lateral do tronco de cone pode ser calculada usando a fórmula da área lateral do cone. A fórmula geral para a área lateral de um cone completo é pi R g, onde R é o raio e g a geratriz. No caso do tronco de cone, vamos adaptar essa fórmula para levar em conta os dois raios.

Passo 4

Para o tronco de cone, a área lateral é a diferença entre as áreas laterais dos dois cones completos que formam o tronco. Assim, temos:
A = pi R g - pi r g

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos fatorar pi g:
A = pi g (R - r)

Passo 6

Então, a área da superfície lateral do tronco de cone é:
A = pi g (R + r)

Resposta

A área da superfície do tronco de cone é A = pi g (R + r).

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