Ache a área da superfície do tronco de cone de raios
e
com geratriz
, usando integral de superfície.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa achar a área da superfície de um tronco de cone, que tem dois raios diferentes,
e
, e uma geratriz
. Para isso, vamos usar cálculo de integrais de superfície. Basicamente, vamos dividir o tronco em pequenas partes e somar todas elas para encontrar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do tronco de cone. Imagine um cone cortado horizontalmente, deixando uma parte menor no topo. Os raios das duas bases são
e
, e a geratriz
é a distância inclinada entre as duas bases.
Passo 3
A área da superfície lateral do tronco de cone pode ser calculada usando a fórmula da área lateral do cone. A fórmula geral para a área lateral de um cone completo é
, onde
é o raio e
a geratriz. No caso do tronco de cone, vamos adaptar essa fórmula para levar em conta os dois raios.
Passo 4
Para o tronco de cone, a área lateral é a diferença entre as áreas laterais dos dois cones completos que formam o tronco. Assim, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos fatorar
:
Passo 6
Então, a área da superfície lateral do tronco de cone é:
Resposta
A área da superfície do tronco de cone é
.