Calcule a curvatura e o raio de curvatura das seguintes curvas: ( 3,0 pontos)
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a curvatura e o raio de curvatura da curva plana
. O conteúdo aqui é Geometria Diferencial de curvas no plano, e vamos precisar das derivadas primeira e segunda de
e da fórmula da curvatura para curvas parametricamente definidas.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de
. Chamando
:
Em seguida, as segundas derivadas:
Passo 3
Agora usamos a fórmula da curvatura no plano:
Calculamos o numerador:
Passo 4
Depois o denominador. Primeiro a soma dos quadrados:
Logo
e
Passo 5
Substituindo em
:
Passo 6
O raio de curvatura é o inverso da curvatura, isto é: