Calcule a curvatura e o raio de curvatura das seguintes curvas: ( 3,0 pontos)
(b) gamma(t)=(e^t cos t, e^t sen t);

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a curvatura e o raio de curvatura da curva plana gamma(t) = (e^tcos t,,e^tsin t). O conteúdo aqui é Geometria Diferencial de curvas no plano, e vamos precisar das derivadas primeira e segunda de gamma(t) e da fórmula da curvatura para curvas parametricamente definidas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de gamma(t). Chamando gamma(t) = (x(t),y(t)):
x'(t) = e^t(cos t - sin t),
y'(t) = e^t(sin t + cos t)
Em seguida, as segundas derivadas:
x''(t) = -2e^tsin t,
y''(t) = 2e^tcos t

Passo 3

Agora usamos a fórmula da curvatura no plano:
kappa(t) = |x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)|l(,x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2
Calculamos o numerador:
x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t) = e^t(cos t - sin t)cdot 2e^tcos t - e^t(sin t + cos t)cdot(-2e^tsin t) = 2e^2t

Passo 4

Depois o denominador. Primeiro a soma dos quadrados:
x'(t)^2 + y'(t)^2 = e^2tl[(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2r] = 2e^2t
Logo
|gamma'(t)| = raiz2e^2t = raiz2,e^t,
e
(|gamma'(t)|)^3 = (raiz2,e^t)^3 = 2^3/2e^3t

Passo 5

Substituindo em kappa(t):
kappa(t) = 2e^2t2^3/2e^3t = 22^3/2e^t = 1raiz2,e^t

Passo 6

O raio de curvatura é o inverso da curvatura, isto é:
R(t) = 1kappa(t) = raiz2,e^t

Resposta

kappa(t)=1raiz2,e^t, R(t)=raiz2,e^t

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