Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
y=e^-x^2, y=0, x=0, x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região que está delimitada pelas curvas $ y = e{-x{2}} $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Para calcular a área dessa região, vamos decidir se integramos em relação a $ x $ ou a $ y $. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais definidas, para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • $ y = e{-x{2}} $: Essa é uma função decrescente que começa em $ y = 1 $ quando $ x = 0 $ e se aproxima de $ y = 0 $ conforme $ x $ aumenta.
  • $ y = 0 $: Essa é a linha do eixo $ x $.
  • $ x = 0 $ e $ x = 1 $: São linhas verticais nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico para visualizar a região. A curva $ y = e{-x{2}} $ começa em $ (0,1) $ e desce até $ (1, e^{-1}) $. As linhas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ formam as bordas verticais, e $ y = 0 $ é a base horizontal.

Passo 4

Agora, vamos decidir o melhor método para integrar. Como a região está limitada entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, e as funções são fáceis de expressar em termos de $ x $, vamos integrar em relação a $ x $.

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas quando integrando em relação a $ x $ é:
x Á
No nosso caso, $ f(x) = e{-x{2}} $ e $ g(x) = 0 $, com $ a = 0 $ e $ b = 1 $.

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
Área = integral0^1 e^-x^2 , dx Á
Essa integral não tem uma solução elementar, mas podemos expressá-la em termos da função erro ($ erf $).

Passo 7

A solução da integral é:
Área = raizpi2 [ erf(1) - erf(0) ] Á
Sabemos que $ erf(0) = 0 $ e $ erf(1) \approx 0.8427 $, então:
erf(0) = 0 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente $ 0.7468 $ unidades quadradas.

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