Ache as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas, se existirem, do gráfico da função dada e faça um esboço deste gráfico, sem a utilização de softwares ou aplicativo:
Passo 1
A gente precisa achar todas as assíntotas da função
. O conteúdo aqui é análise de limites, definição de assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas/curvilíneas) e divisão polinomial para reescrever
.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio: não dá pra dividir por zero, então
. Depois fazemos a divisão do numerador por
pra simplificar
.
Passo 3
Ao dividir
por
(divisão polinomial simples), a gente encontra:
Isso ajuda a ver o comportamento pra
e
.
Passo 4
Assíntota vertical vem de zeros do denominador que não são anulados no numerador. Aqui só tem
, e como
lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty
e
lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty,
é assíntota vertical .
lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty
e
lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty,
é assíntota vertical
Passo 5
Assíntota horizontal, a gente avalia
. Como
domina,
quando
.
Logo não há assíntota horizontal.
Logo não há assíntota horizontal.
Passo 6
Quando o grau do numerador (3) menos o do denominador (1) é maior que 1, não dá assíntota oblíqua (reta). Em vez disso aparece uma curvilínea (uma parábola). Ela vem da parte polinomial da divisão, isto é:
.
Passo 7
Para o esboço, nota-se:
– Dois ramos, em e
.
– Em , comportamento vertical.
– À medida que , o gráfico se aproxima da parábola
.
– Zeros em (multiplicidade 2, tangencia) e
(corte).
– Dois ramos, em
– Em
– À medida que
– Zeros em
Resposta
Assíntota vertical:
Não há assíntota horizontal
Não há assíntota oblíqua (reta)
Assíntota curvilínea:
Não há assíntota horizontal
Não há assíntota oblíqua (reta)
Assíntota curvilínea:
Esboço: dois ramos separados pelo eixo
em
; cada ramo sai de
e, para
, aproxima-se da parábola
. Zeros em
(tangência) e
.