Ache as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas, se existirem, do gráfico da função dada e faça um esboço deste gráfico, sem a utilização de softwares ou aplicativo:
f(x)=-x^3+3 x+2x

Passo 1

A gente precisa achar todas as assíntotas da função f(x)=-x^3+3x+2x. O conteúdo aqui é análise de limites, definição de assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas/curvilíneas) e divisão polinomial para reescrever f(x).

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio: não dá pra dividir por zero, então xneq0. Depois fazemos a divisão do numerador por x pra simplificar f(x).

Passo 3

Ao dividir -x^3+3x+2 por x (divisão polinomial simples), a gente encontra:
f(x)= -x^2 + 3 + 2x
Isso ajuda a ver o comportamento pra xto0 e xtopminfty.

Passo 4

Assíntota vertical vem de zeros do denominador que não são anulados no numerador. Aqui só tem x=0, e como
lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty
e
lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty,
é assíntota vertical x=0.

Passo 5

Assíntota horizontal, a gente avalia xtopminfty. Como
f(x)approx -x^2 domina,
f(x)to -infty quando xtopminfty.
Logo não há assíntota horizontal.

Passo 6

Quando o grau do numerador (3) menos o do denominador (1) é maior que 1, não dá assíntota oblíqua (reta). Em vez disso aparece uma curvilínea (uma parábola). Ela vem da parte polinomial da divisão, isto é:
y=-x^2+3.

Passo 7

Para o esboço, nota-se:
– Dois ramos, em x<0 e x>0.
– Em x=0, comportamento vertical.
– À medida que xtopminfty, o gráfico se aproxima da parábola y=-x^2+3.
– Zeros em x=-1 (multiplicidade 2, tangencia) e x=2 (corte).

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Não há assíntota horizontal
Não há assíntota oblíqua (reta)
Assíntota curvilínea: y=-x^2+3
Esboço: dois ramos separados pelo eixo y em x=0; cada ramo sai de pminfty e, para xtopminfty, aproxima-se da parábola y=-x^2+3. Zeros em (-1,0) (tangência) e (2,0).

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