Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
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Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(f)
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Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(f)
Passo 1
O exercício pede para encontrar o termo geral de cada sequência e depois classificá-las em relação à limitação (se são limitadas superiormente e/ou inferiormente) e à monotonia (se são crescentes, decrescentes ou nenhuma das anteriores). Vamos usar definição por casos para o termo geral e conceitos de sequência limitada e monotônica.
Passo 2
Para a sequência ©
Observando os valores 1, 0, 1, 0, 1, … vemos que para n ímpar o termo vale 1 e para n par vale 0. Podemos usar a paridade de n e a potência de (-1) para montar o termo geral.
Observando os valores 1, 0, 1, 0, 1, … vemos que para n ímpar o termo vale 1 e para n par vale 0. Podemos usar a paridade de n e a potência de (-1) para montar o termo geral.
Passo 3
Classificação da sequência ©
– Limitação: os valores de a_n são sempre 0 ou 1, logo está limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1 (é limitada).
– Monotonia: como alterna 1,0,1,0,… não é nem crescente nem decrescente (não monótona).
– Limitação: os valores de a_n são sempre 0 ou 1, logo está limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1 (é limitada).
– Monotonia: como alterna 1,0,1,0,… não é nem crescente nem decrescente (não monótona).
Passo 4
Para a sequência (f)
Observando os termos 0,3,2,5,4,… notamos que em posições ímpares (n=1,3,5,…) temos a_n = n−1 e em posições pares (n=2,4,6,…) temos a_n = n+1. Uma forma unificada é usar (-1)^n:
Observando os termos 0,3,2,5,4,… notamos que em posições ímpares (n=1,3,5,…) temos a_n = n−1 e em posições pares (n=2,4,6,…) temos a_n = n+1. Uma forma unificada é usar (-1)^n:
Passo 5
Classificação da sequência (f)
– Limitação: conforme n cresce a_n cresce sem limite (para n par cresce como n+1, para n ímpar cresce como n−1), então não é limitada superiormente. Mas como o menor valor é 0, está limitada inferiormente.
– Monotonia: alterna aumentos e decréscimos (0→3→2→5→4→7→…), então não é monotônica.
– Limitação: conforme n cresce a_n cresce sem limite (para n par cresce como n+1, para n ímpar cresce como n−1), então não é limitada superiormente. Mas como o menor valor é 0, está limitada inferiormente.
– Monotonia: alterna aumentos e decréscimos (0→3→2→5→4→7→…), então não é monotônica.
Resposta
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; limitada (0≤a_n≤1); não monotônica.
(f) ; limitada inferiormente (por 0) mas não superiormente; não monotônica.
(f)