Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(g) 2,1, 32, 1, 43, 1, cdots
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Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(h) 0, 32,-23, 54,-45, cdots

Passo 1

Nesta questão temos duas sequências e precisamos achar o termo geral de cada uma, além de dizer se cada sequência é limitada e se é monótona. O conteúdo envolvido é sequência numérica, definição de termo geral, limites e monotonicidade.

Passo 2

Observando a sequência g: 2, 1, 3/2, 1, 4/3, 1, …, notamos que nos índices pares o valor é sempre 1, e nos ímpares cresce uma fração que se aproxima de 1.
Para formalizar g, se n é par então
an=1,
e se n é ímpar, n=2k−1, então
an=k+1k

Passo 3

Em função de n ímpar isso pode virar diretamente
an=n+3n+1(para n ímpar)í

Passo 4

A sequência g é limitada? Note que todos os termos estão entre 1 e 2, logo é limitada superiormente por 2 e inferiormente por 1.
A sequência g é monótona? Como ela oscila entre 1 e um valor maior que 1, não é nem não decrescente nem não crescente; portanto não é monótona.

Passo 5

Agora a sequência h: 0, 3/2, −2/3, 5/4, −4/5, … alterna sinal e tem módulo que tende a 1.
Para h, se n é par, n=2k, temos
an=2k+12k=n+1n,
e se n é ímpar, n=2k−1, temos
an=-2k-22k-1=-n-1n

Passo 6

A sequência h é limitada? Seus valores ficam entre o infimo −1 (não atingido) e o supremo 3/2, logo é limitada.
A sequência h é monótona? Como há alternância de sinais e oscilações, ela também não é monótona.

Resposta

Para g:
Se n é par, an=1; se n é ímpar, an=n+3n+1. A sequência é limitada ( 1<= an<=2) e não é monótona.
Para h:
Se n é par, an=n+1n; se n é ímpar, an=-n-1n. A sequência é limitada ( -1) e não é monótona.

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