Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(g)
21
Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(h)
(g)
21
Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(h)
Passo 1
Nesta questão temos duas sequências e precisamos achar o termo geral de cada uma, além de dizer se cada sequência é limitada e se é monótona. O conteúdo envolvido é sequência numérica, definição de termo geral, limites e monotonicidade.
Passo 2
Observando a sequência g: 2, 1, 3/2, 1, 4/3, 1, …, notamos que nos índices pares o valor é sempre 1, e nos ímpares cresce uma fração que se aproxima de 1.
Para formalizar g, se n é par então
Para formalizar g, se n é par então
e se n é ímpar, n=2k−1, então
Passo 3
Em função de n ímpar isso pode virar diretamente
Passo 4
A sequência g é limitada? Note que todos os termos estão entre 1 e 2, logo é limitada superiormente por 2 e inferiormente por 1.
A sequência g é monótona? Como ela oscila entre 1 e um valor maior que 1, não é nem não decrescente nem não crescente; portanto não é monótona.
A sequência g é monótona? Como ela oscila entre 1 e um valor maior que 1, não é nem não decrescente nem não crescente; portanto não é monótona.
Passo 5
Agora a sequência h: 0, 3/2, −2/3, 5/4, −4/5, … alterna sinal e tem módulo que tende a 1.
Para h, se n é par, n=2k, temos
Para h, se n é par, n=2k, temos
e se n é ímpar, n=2k−1, temos
Passo 6
A sequência h é limitada? Seus valores ficam entre o infimo −1 (não atingido) e o supremo 3/2, logo é limitada.
A sequência h é monótona? Como há alternância de sinais e oscilações, ela também não é monótona.
A sequência h é monótona? Como há alternância de sinais e oscilações, ela também não é monótona.
Resposta
Para g:
Se n é par, ; se n é ímpar,
. A sequência é limitada (
) e não é monótona.
Se n é par,
Para h:
Se n é par, ; se n é ímpar,
. A sequência é limitada (
) e não é monótona.
Se n é par,