Ache as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função $ g(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} $. Basicamente, vamos analisar como essa função se comporta quando $ x $ cresce muito (positivo ou negativo) e quando $ x $ se aproxima de certos valores que podem fazer a função “explodir”. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o valor que a função se aproxima quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Para isso, calculamos o limite de $ g(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $:
Como $ \frac{1}{x^{2}} $ tende a 0 quando $ x $ cresce muito, o limite será:
Então, a assíntota horizontal é $ y = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem nos valores de $ x $ que fazem o denominador da função igual a zero, resultando em uma divisão por zero, o que não é permitido.
Olhemos para a função $ g(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} $. O denominador é $ x^{2} $, então fazemos:
Portanto, temos uma possível assíntota vertical em $ x = 0 $.
Passo 4
Para confirmar que realmente há uma assíntota vertical em $ x = 0 $, analisamos os limites laterais:
Quando $ x $ se aproxima de 0 pelo lado positivo ($ 0^{+} $), $ \frac{1}{x^{2}} $ tende a $ +\infty $, então:
Quando $ x $ se aproxima de 0 pelo lado negativo ($ 0^{-} $), $ \frac{1}{x^{2}} $ também tende a $ +\infty $, então:
Como ambos os limites tendem a $ -\infty $, temos uma assíntota vertical em $ x = 0 $.
Resposta
A função $ g(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} $ tem uma assíntota horizontal em $ y = 1 $ e uma assíntota vertical em $ x = 0 $.