Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da função abaixo.
f(x)=ll 0 & se -1

Passo 1

Estamos lidando com uma função periódica de período 2, definida por um pulso retangular: vale zero em $-1<x<-1/2$, vale 1 em $-1/2<x<1/2$ e de novo zero em $1/2<x<1$. O conteúdo é série de Fourier de uma função periódica, e vamos usar as fórmulas padrão com $!L=1$.

Passo 2

Antes de calcular coeficientes, esboçamos o gráfico de f: no eixo x, entre -1 e -1/2 a função fica em zero; de -1/2 a 1/2 sobe para 1 (pulso retangular de largura 1); depois de 1/2 a 1 volta a zero; e esse padrão se repete com período 2.

Passo 3

A forma geral da série de Fourier para uma função de período 2L (aqui L=1) é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x/L)+bnsin(npi x/L)r)
ou seja, como L=1,
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r)

Passo 4

O coeficiente de termo constante é
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx=integral-1^1f(x),dx=integral-1/2^1/21,dx=1

Passo 5

Para os coeficientes de cosseno:
an=1Lintegral-L^Lf(x)cos(npi x/L),dx=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx=integral-1/2^1/2cos(npi x),dx
Fazendo a integral:
an=l[sin(npi x)npir]-1/2^1/2=2sin(npi/2)npi

Passo 6

Como a função é par, todos os senos desaparecem, logo
bn=1Lintegral-L^Lf(x)sin(npi x/L),dx=0

Passo 7

Juntando tudo, obtemos a série de Fourier:
f(x)=12+sumn=1^infty2sin(npi/2)npi,cos(npi x)

Resposta

f(x)=12+sumn=1^infty2sinl(tfracnpi2r)npicos(npi x)

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