Encontre o máximo divisor comum dos pares de inteiros que seguem e, para cada caso, dê uma identidade de Bezout.
63 e 105 .

Passo 1

Temos os números 63 e 105. O conteúdo é o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum e a identidade de Bézout para expressá-lo como combinação linear. Vamos precisar da divisão euclidiana e da retro-substituição.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides:
105 = 1 cdot 63 + 42
63 = 1 cdot 42 + 21
42 = 2 cdot 21 + 0
Como o resto chegou a zero, o último resto não-nulo é o máximo divisor comum. Logo, gcd(63,105)=21.

Passo 3

Para obter a identidade de Bézout, usamos as duas últimas divisões:
Da segunda divisão vem
21 = 63 - 1cdot42
Da primeira divisão vem
42 = 105 - 1cdot63
Substituindo a expressão de 42 na de 21:
21 = 63 - 1cdot(105 - 1cdot63) = 2cdot63 - 1cdot105
Assim encontramos os coeficientes de Bézout: 2 para 63 e -1 para 105.

Resposta

O máximo divisor comum de 63 e 105 é 21 e uma identidade de Bézout é 21 = 2cdot63 - 1cdot105.

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