Demostre os seguintes resultados por indução, para o inteiro
:
Passo 1
A tarefa é provar que para todo inteiro
vale
. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que exige verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base: para
precisamos mostrar
. Calculamos
e observamos que
é verdadeiro. Logo, a base da indução está satisfeita.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha a hipótese de indução
Queremos provar que então
Como
e pela hipótese
, obtemos
Além disso, para todo
temos
porque
Combinando essas desigualdades segue
ou seja,
, que era o que queríamos.
Passo 4
Como conferimos o caso base e o passo indutivo, pelo Princípio da Indução Matemática concluímos que para todo inteiro
a desigualdade
é verdadeira.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.