Demostre os seguintes resultados por indução, para o inteiro n >= 1 :
n <= 2^n

Passo 1

A tarefa é provar que para todo inteiro n>=1 vale n<=2^n. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que exige verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base: para n=1 precisamos mostrar 1<=2^1. Calculamos
2^1=2
e observamos que 1<=2 é verdadeiro. Logo, a base da indução está satisfeita.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha a hipótese de indução
k<=2^k
Queremos provar que então
k+1<=2^k+1
Como
2^k+1=2cdot2^k
e pela hipótese 2^k>= k, obtemos
2^k+1>=2k
Além disso, para todo k>=1 temos
2k>= k+1
porque
2k-(k+1)=k-1>=0
Combinando essas desigualdades segue
2^k+1>=2k>= k+1,
ou seja, k+1<=2^k+1, que era o que queríamos.

Passo 4

Como conferimos o caso base e o passo indutivo, pelo Princípio da Indução Matemática concluímos que para todo inteiro n>=1 a desigualdade n<=2^n é verdadeira.

Resposta

A desigualdade n<=2^n é verdadeira para todo inteiro n>=1.

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