Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=2+(x-3)^1 / 3

Passo 1

A questão pede as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=2+(x−3)^{1/3} e um esboço do gráfico. Vamos usar limites para assíntotas e olhar o domínio para ver se há descontinuidades.

Passo 2

O domínio de f é todo ℝ, pois a raiz cúbica está definida para qualquer x. Como não há ponto onde f deixe de existir, não há assíntota vertical.

Passo 3

Para achar assíntota horizontal, calculamos os limites no infinito. Primeiro,
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(2+(x-3)^1/3r)=+infty,
e depois
limxto-inftyf(x)=limxto-inftyl(2+(x-3)^1/3r)=-infty
Como ambos os limites são infinitos, não há assíntota horizontal.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, note que y=(x-3)^{1/3} é a raiz cúbica deslocada 3 unidades à direita e somada a 2. O ponto de inflexão fica em (3,2). A curva é crescente em todo ℝ, vai de -∞ quando x→-∞ até +∞ quando x→+∞, sem assíntotas.
O esboço:
  • Marca o ponto (3,2).
  • Para x<3, f desce seguindo a forma de raiz cúbica invertida (quando x muito menor que 3, f→-∞).
  • Para x>3, f sobe seguindo a forma de raiz cúbica normal (quando x muito maior que 3, f→+∞).
  • Não há retas-guia de assíntotas.

Resposta

Não há assíntotas verticais nem horizontais para f(x)=2+(x−3)^{1/3}.

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