Uma função definida por f(x)=x-12 x+1 tem imagem Imf=-3,-1,1,3,5. Qual é o domínio de f?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x - 1}{2x + 1} $ e a imagem dessa função é $ Im_f = {-3, -1, 1, 3, 5} $. Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, quais valores de $ x $ a gente pode colocar na função sem causar nenhum problema, tipo dividir por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de uma função racional como a nossa, $ f(x) = \frac{x - 1}{2x + 1} $, a única restrição vem de não podermos dividir por zero. Então, precisamos garantir que o denominador $ 2x + 1 $ nunca seja zero.

Passo 3

Vamos achar onde o denominador é zero:
2x + 1 = 0
Resolvendo para $ x $:
x
Então, $ x = -\frac{1}{2} $ não está no domínio da função, porque aí a gente teria uma divisão por zero.

Passo 4

Mas a questão também nos dá uma imagem específica: $ Im_f = {-3, -1, 1, 3, 5} $. Isso significa que os valores de $ f(x) $ são apenas esses cinco números. Para encontrar quais valores de $ x $ correspondem a cada valor na imagem, vamos resolver a equação $ f(x) = y $ para cada $ y $ na imagem.

Passo 5

Vamos fazer isso para cada valor de $ y $:
  1. Para $ y = -3 $:
y
  1. Para $ y = -1 $:
y = -3
  1. Para $ y = 1 $:
x - 12x + 1 = -3 x - 1 = -3(2x + 1) x - 1 = -6x - 3 x + 6x = -3 + 1 7x = -2 x = -27
  1. Para $ y = 3 $:
y = -1
  1. Para $ y = 5 $:
x - 12x + 1 = -1 x - 1 = -1(2x + 1) x - 1 = -2x - 1 x + 2x = -1 + 1 3x = 0 x = 0

Passo 6

Agora, juntando todos esses valores de $ x $, temos:
x
Mas precisamos lembrar que $ x = -\frac{1}{2} $ não está no domínio. No nosso caso, nenhum dos valores encontrados é igual a $ -\frac{1}{2} $, então estamos tranquilos.

Resposta

O domínio de $ f $ é $ \left{, -\dfrac{2}{7},\ 0,\ -2,\ -\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{2}{3} ,\right} $.

Exercícios relacionados