Uma função definida por
tem imagem
. Qual é o domínio de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x - 1}{2x + 1} $ e a imagem dessa função é $ Im_f = {-3, -1, 1, 3, 5} $. Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, quais valores de $ x $ a gente pode colocar na função sem causar nenhum problema, tipo dividir por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de uma função racional como a nossa, $ f(x) = \frac{x - 1}{2x + 1} $, a única restrição vem de não podermos dividir por zero. Então, precisamos garantir que o denominador $ 2x + 1 $ nunca seja zero.
Passo 3
Vamos achar onde o denominador é zero:
Resolvendo para $ x $:
Então, $ x = -\frac{1}{2} $ não está no domínio da função, porque aí a gente teria uma divisão por zero.
Passo 4
Mas a questão também nos dá uma imagem específica: $ Im_f = {-3, -1, 1, 3, 5} $. Isso significa que os valores de $ f(x) $ são apenas esses cinco números. Para encontrar quais valores de $ x $ correspondem a cada valor na imagem, vamos resolver a equação $ f(x) = y $ para cada $ y $ na imagem.
Passo 5
Vamos fazer isso para cada valor de $ y $:
- Para $ y = -3 $:
- Para $ y = -1 $:
- Para $ y = 1 $:
- Para $ y = 3 $:
- Para $ y = 5 $:
Passo 6
Agora, juntando todos esses valores de $ x $, temos:
Mas precisamos lembrar que $ x = -\frac{1}{2} $ não está no domínio. No nosso caso, nenhum dos valores encontrados é igual a $ -\frac{1}{2} $, então estamos tranquilos.
Resposta
O domínio de $ f $ é $ \left{, -\dfrac{2}{7},\ 0,\ -2,\ -\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{2}{3} ,\right} $.