Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=3 sec 12 x, x in(-2 pi, 2 pi)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as assintotas horizontal e vertical de
f(x)=3secl(tfrac12xr), xin(-2pi,2pi)
do conteúdo de funções trigonométricas (secante) e em seguida fazermos um esboço do gráfico. Vamos precisar entender a periodicidade de sec, onde o cosseno no denominador zera (para achar as verticais) e o comportamento para xtopminfty (para horizontais).

Passo 2

Para achar as assintotas verticais, note que
secl(tfrac12xr)=1cos(tfrac12x)
zera o denominador sempre que
cosl(tfrac12xr)=0
Isso ocorre quando
tfrac12x=pi2+kpiLongrightarrow x=pi+2kpi
Dentro de (-2pi,2pi) só cabem k=-1 e k=0, gerando as retas verticais
x=-pie x=pi

Passo 3

Para achar assintotas horizontais, lembramos que elas aparecem quando xtopminfty e a função tende a alguma constante. Mas aqui f(x)=3sec(tfrac12x) é periódica (período 4pi) e não se aproxima de valor fixo quando xtopminfty. Além disso, nosso domínio é limitado a (-2pi,2pi). Concluímos que não há assintotas horizontais.

Passo 4

Para desenhar o esboço, primeiro identificamos o período e alguns pontos-chave:
  • Período: T=2pi1/2=4pi. Nosso intervalo de -2pi a 2pi é exatamente uma volta.
  • Ramos entre as verticais: em cada intervalo aberto
    (-2pi,-pi), (-pi,pi) e (pi,2pi).
  • Em x=-2pi e em x=2pi, temos tfrac12x=pmpi e sec(pmpi)=-1, então f(x)to-3 nos extremos (não incluídos).
  • No centro de (-pi,pi), em x=0, f(0)=3sec(0)=3.
  • Em x=-3pi/2 e x=3pi/2, tfrac12x=pm3pi/4, cos=pmtfracraiz22 e f=pm3raiz2.
    Com isso traçamos três ramos de secante: dois negativos nos extremos e um positivo no meio, cada ramo tendendo a pminfty nas assintotas verticais.

Passo 5

No esboço, marcamos as retas verticais x=-pi e x=pi, o eixo y=0 como linha de referência, e desenhamos os ramos de f(x) que:
  • Em (-2pi,-pi): começam em yapprox-3 em xto-2pi^+, crescem para -infty em xto-pi^-.
  • Em (-pi,pi): começam em +infty em xto-pi^+, têm mínimo 3 em x=0, voltam a +infty em xtopi^-.
  • Em (pi,2pi): começam em -infty em xtopi^+, crescem até yapprox-3 em xto2pi^-.

Resposta

Assintotas verticais: x=−π e x=π. Não há assintotas horizontais.

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