Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as assintotas horizontal e vertical de
do conteúdo de funções trigonométricas (secante) e em seguida fazermos um esboço do gráfico. Vamos precisar entender a periodicidade de
Passo 2
Para achar as assintotas verticais, note que
zera o denominador sempre que
Isso ocorre quando
Dentro de
Passo 3
Para achar assintotas horizontais, lembramos que elas aparecem quando
e a função tende a alguma constante. Mas aqui
é periódica (período
) e não se aproxima de valor fixo quando
. Além disso, nosso domínio é limitado a
. Concluímos que não há assintotas horizontais.
Passo 4
Para desenhar o esboço, primeiro identificamos o período e alguns pontos-chave:
- Período:
. Nosso intervalo de a é exatamente uma volta. - Ramos entre as verticais: em cada intervalo aberto
, e . - Em
e em , temos e , então nos extremos (não incluídos). - No centro de
, em , . - Em
e , , e .
Com isso traçamos três ramos de secante: dois negativos nos extremos e um positivo no meio, cada ramo tendendo anas assintotas verticais.
Passo 5
No esboço, marcamos as retas verticais
e
, o eixo
como linha de referência, e desenhamos os ramos de
que:
- Em
: começam em em , crescem para em . - Em
: começam em em , têm mínimo em , voltam a em . - Em
: começam em em , crescem até em .
Resposta
Assintotas verticais: x=−π e x=π. Não há assintotas horizontais.