Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=3 x^3+5 x^4

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=3x3+5x4 e depois fazer um esboço do gráfico. Isso envolve teoria de polinômios (continuidade, comportamento no infinito) e, para o esboço, análise de derivadas para monotonicidade, extremos, concavidade e interceptos.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo ℝ e não tem pontos de descontinuidade nem polos. Logo não há assíntotas verticais. Para o comportamento no infinito, como o termo dominante é 5x^4 (grau 4), temos
limxto+inftyf(x)=+inftyelimxto-inftyf(x)=+infty
Não existe valor finito L tal que f(x)→L, então não há assíntota horizontal.

Passo 3

Para entender a forma do gráfico, calculamos as derivadas:
f'(x)=ddx(3x^3+5x^4)=9x^2+20x^3=x^2(9+20x),
f''(x)=ddx(9x^2+20x^3)=18x+60x^2=6x(3+10x)

Passo 4

As raízes de f’(x) são x=0 (multiplicidade 2) e x=-9/20. Analisando o sinal de f’:
  • Para x<−9/20, 9+20x<0, x^2>0 → f’(x)<0 (f decresce).
  • Para −9/20<x<0, 9+20x>0, x^2>0 → f’(x)>0 (f cresce).
  • Para x>0, idem → f’(x)>0 (f cresce).
    Portanto há um mínimo local em x=−9/20. O valor correspondente é
fl(-tfrac920r)=3l(-tfrac920r)^3+5l(-tfrac920r)^4=-tfrac21878000+tfrac32805160000=-0.068375

Passo 5

As raízes de f’’(x) são x=0 e x=-3/10. Estudando o sinal de f’’ indicamos concavidade:
  • Em x<−0.3: f’’>0 → concava para cima.
  • Em −0.3<x<0: f’’<0 → concava para baixo.
  • Em x>0: f’’>0 → concava para cima.
    Logo há pontos de inflexão em x=-3/10 e em x=0.

Passo 6

Interceptos com os eixos:
  • f(0)=0, então intercepto em (0,0).
  • Para f(x)=0, temos x^3(3+5x)=0, raízes em x=0 (mult.3) e x=-3/5. Então intercepto em (-3/5,0).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  1. Como x→±∞, f→+∞ (sorve para cima em ambas as extremidades).
  2. Começa em +∞ para x
    ii muito negativo, decresce até o mínimo em (-9/20,−0.0684).
  3. Passa pelo intercepto (-3/5,0), muda concavidade em x=-0.3.
  4. Continua aumentando, passa pelo ponto de inflexão em x=0 (e intercepto em 0), mantém concavidade para cima em seguida e cresce para +∞.

Passo 8

No esboço lembre de marcar os pontos clave: (-3/5,0), (-9/20,-0.0684), inflexões em x=-0.3 e x=0, e o fim subindo para +∞. Mantém forma típica de polinômio grau 4 com coeficiente positivo.

Resposta

Não existem assíntotas verticais nem horizontais para f(x)=3x3+5x4.

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