Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=3x3+5x4 e depois fazer um esboço do gráfico. Isso envolve teoria de polinômios (continuidade, comportamento no infinito) e, para o esboço, análise de derivadas para monotonicidade, extremos, concavidade e interceptos.
Passo 2
Como f é um polinômio, ela é contínua em todo ℝ e não tem pontos de descontinuidade nem polos. Logo não há assíntotas verticais. Para o comportamento no infinito, como o termo dominante é 5x^4 (grau 4), temos
Não existe valor finito L tal que f(x)→L, então não há assíntota horizontal.
Passo 3
Para entender a forma do gráfico, calculamos as derivadas:
Passo 4
As raízes de f’(x) são x=0 (multiplicidade 2) e x=-9/20. Analisando o sinal de f’:
- Para x<−9/20, 9+20x<0, x^2>0 → f’(x)<0 (f decresce).
- Para −9/20<x<0, 9+20x>0, x^2>0 → f’(x)>0 (f cresce).
- Para x>0, idem → f’(x)>0 (f cresce).
Portanto há um mínimo local em x=−9/20. O valor correspondente é
Passo 5
As raízes de f’’(x) são x=0 e x=-3/10. Estudando o sinal de f’’ indicamos concavidade:
- Em x<−0.3: f’’>0 → concava para cima.
- Em −0.3<x<0: f’’<0 → concava para baixo.
- Em x>0: f’’>0 → concava para cima.
Logo há pontos de inflexão em x=-3/10 e em x=0.
Passo 6
Interceptos com os eixos:
- f(0)=0, então intercepto em (0,0).
- Para f(x)=0, temos x^3(3+5x)=0, raízes em x=0 (mult.3) e x=-3/5. Então intercepto em (-3/5,0).
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Como x→±∞, f→+∞ (sorve para cima em ambas as extremidades).
- Começa em +∞ para x
ii muito negativo, decresce até o mínimo em (-9/20,−0.0684). - Passa pelo intercepto (-3/5,0), muda concavidade em x=-0.3.
- Continua aumentando, passa pelo ponto de inflexão em x=0 (e intercepto em 0), mantém concavidade para cima em seguida e cresce para +∞.
Passo 8
No esboço lembre de marcar os pontos clave: (-3/5,0), (-9/20,-0.0684), inflexões em x=-0.3 e x=0, e o fim subindo para +∞. Mantém forma típica de polinômio grau 4 com coeficiente positivo.
Resposta
Não existem assíntotas verticais nem horizontais para f(x)=3x3+5x4.