Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=x^2+1x^2-1

Passo 1

Temos a função racional definida por
f(x)=x^2+1x^2-1
É conteúdo de assíntotas de funções racionais; vamos precisar usar limites e identificar onde o denominador se anula para achar assíntotas verticais, e comparar graus de polinômios para achar a assíntota horizontal.

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, observamos onde o denominador se anula sem que o numerador também se anule, pois aí o valor da função tende a infinito.
Denominador zero:
x^2-1=0implies x=pm1
Numerador em x=pm1:
(pm1)^2+1=2neq0
Logo, existem assíntotas verticais em x=-1 e x=1.

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal em xtopminfty, comparamos o grau do numerador (2) com o do denominador (2). Como são iguais, a assíntota é a reta
y=coeficiente líder do numeradorcoeficiente líder do denominador=11=1íí
Portanto, há assíntota horizontal em y=1.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, analisamos também interceptos e simetria.
  1. A função é par (só tem potências pares), então é simétrica em relação ao eixo y.
  2. Não há intercepto em x real (porque x^2+1=0 não tem raiz real).
  3. Intercepto em y: f(0)=0^2+10^2-1=-1.
  4. Em cada intervalo definido pelas assíntotas verticais ( x<-1, -1 e x>1), a função aproxima-se de y=1 nas bordas e tem o comportamento determinado pelo sinal do numerador e denominador.
    Com isso, desenhamos:
  • Dois ramos externos (para x<-1 e x>1) acima de y=1, aproximando-se de y=1 horizontalmente e de x=pm1 verticalmente.
  • Um ramo interno ( -1) que passa em (0,-1) e fica abaixo de y=1, aproximando-se de x=pm1 e de y=1.

Resposta

Assíntotas verticais: x=–1 e x=1. Assíntota horizontal: y=1. Esboço: três ramos simétricos ao eixo y, com dois ramos externos acima de y=1 em x<–1 e x>1, e um ramo interno em –1<x<1 passando por (0,–1).

Exercícios relacionados