Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Temos a função racional definida por
É conteúdo de assíntotas de funções racionais; vamos precisar usar limites e identificar onde o denominador se anula para achar assíntotas verticais, e comparar graus de polinômios para achar a assíntota horizontal.
Passo 2
Para achar as assíntotas verticais, observamos onde o denominador se anula sem que o numerador também se anule, pois aí o valor da função tende a infinito.
Denominador zero:
Denominador zero:
Numerador em
Logo, existem assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Para achar a assíntota horizontal em
, comparamos o grau do numerador (2) com o do denominador (2). Como são iguais, a assíntota é a reta
Portanto, há assíntota horizontal em
Passo 4
Para esboçar o gráfico, analisamos também interceptos e simetria.
- A função é par (só tem potências pares), então é simétrica em relação ao eixo
. - Não há intercepto em
real (porque não tem raiz real). - Intercepto em
: . - Em cada intervalo definido pelas assíntotas verticais (
, e ), a função aproxima-se de nas bordas e tem o comportamento determinado pelo sinal do numerador e denominador.
Com isso, desenhamos:
- Dois ramos externos (para
e ) acima de , aproximando-se de horizontalmente e de verticalmente. - Um ramo interno (
) que passa em e fica abaixo de , aproximando-se de e de .
Resposta
Assíntotas verticais: x=–1 e x=1. Assíntota horizontal: y=1. Esboço: três ramos simétricos ao eixo y, com dois ramos externos acima de y=1 em x<–1 e x>1, e um ramo interno em –1<x<1 passando por (0,–1).