Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=ll2(x-1)^2 & se x<1 (x-1)^4 & se 1 <= x

Passo 1

O enunciado define a função por partes: para x<1 temos f(x)=2(x-1)^2 e para x\ge1 temos f(x)=(x-1)^4. Pede-se as assíntotas horizontal e vertical e um esboço do gráfico.

Passo 2

Assíntotas verticais surgem quando a função não está definida ou tende a ±∞ em algum ponto finito. Aqui cada ramo é polinomial e está definido em todo R, logo não há assíntotas verticais.

Passo 3

Assíntotas horizontais são da forma y=L se limxtopminftyf(x)=L. Para xto -infty, f(x)=2(x-1)^2to+infty. Para xto+infty, f(x)=(x-1)^4to+infty. Assim, não há assíntotas horizontais.

Passo 4

No ponto de união x=1, f(1^-)=2cdot0^2=0 e f(1^+)=0^4=0, então f é contínua em x=1. As derivadas laterais também coincidem em zero, garantindo suavidade em (1,0).

Passo 5

Para esboçar: cada ramo tem vértice em (1,0). Em x<1 é uma parábola de concavidade para cima; em x>=1 é uma curva de grau quatro mais “achatada” perto de x=1. Os dois ramos se encontram suavemente em (1,0) e crescem para +∞ ao nos afastarmos de x=1.

Resposta

Não existem assíntotas horizontais nem verticais. O gráfico é formado por um ramo parabólico para x<1 e um ramo quartíco para x≥1, ambos com vértice em (1,0) e crescendo para +∞ quando nos afastamos desse ponto.

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