Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=3 x^{1/3}−x e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo envolve análise de domínio, limites no infinito e comportamento assintótico.
Passo 2
Para assíntotas verticais a gente vê onde a função fica indefinida ou explode em valor finito de x. Como x^{1/3} está definida para todo x∈ℝ, não há pontos de descontinuidade nem onde f(x)→±∞ para x finito. Logo, não há assíntotas verticais.
Passo 3
Para assíntotas horizontais calculamos as limites em x→±∞. Temos
Passo 4
Como nenhum desses limites é finito, não existem assíntotas horizontais.
Para reforçar, tentamos assíntota oblíqua y=ax+b. A inclinação seria
Para reforçar, tentamos assíntota oblíqua y=ax+b. A inclinação seria
mas o termo b=\lim(f(x)+x)=\lim3x^{1/3}=+∞ não é finito, então também não há reta oblíqua.
Passo 5
Para esboçar o gráfico notamos que f é ímpar (f(-x)=-f(x)), tem raízes em x=0 e x=±3^{3/2}≈±5,20, e derivada f’(x)=x^{-2/3}-1 muda de sinal em x=±1, dando mínimo em x=-1 (f=-2) e máximo em x=1 (f=2). Assim sai um “S” simétrico em relação à origem, crescente em (-1,1) e decrescente fora desse intervalo.
Passo 6
No final, não há nenhuma assíntota horizontal nem vertical.
Resposta
Não existem assíntotas horizontais nem verticais.