Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=3 x^1 / 3-x

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=3 x^{1/3}−x e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo envolve análise de domínio, limites no infinito e comportamento assintótico.

Passo 2

Para assíntotas verticais a gente vê onde a função fica indefinida ou explode em valor finito de x. Como x^{1/3} está definida para todo x∈ℝ, não há pontos de descontinuidade nem onde f(x)→±∞ para x finito. Logo, não há assíntotas verticais.

Passo 3

Para assíntotas horizontais calculamos as limites em x→±∞. Temos
limxto+inftyf(x)=limxto+infty(3x^1/3-x)=-infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-infty(3x^1/3-x)=+infty

Passo 4

Como nenhum desses limites é finito, não existem assíntotas horizontais.
Para reforçar, tentamos assíntota oblíqua y=ax+b. A inclinação seria
a=limxto+inftyf(x)x=limxto+inftyl(3x^-2/3-1r)=-1,
mas o termo b=\lim(f(x)+x)=\lim3x^{1/3}=+∞ não é finito, então também não há reta oblíqua.

Passo 5

Para esboçar o gráfico notamos que f é ímpar (f(-x)=-f(x)), tem raízes em x=0 e x=±3^{3/2}≈±5,20, e derivada f’(x)=x^{-2/3}-1 muda de sinal em x=±1, dando mínimo em x=-1 (f=-2) e máximo em x=1 (f=2). Assim sai um “S” simétrico em relação à origem, crescente em (-1,1) e decrescente fora desse intervalo.

Passo 6

No final, não há nenhuma assíntota horizontal nem vertical.

Resposta

Não existem assíntotas horizontais nem verticais.

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